LIS 两种复杂度解法

一个序列有N个数：A[1],A[2],…,A
，求出最长非降子序列的长度。

例：

5,3,4,8,6,7.

前一个数的LIS为dp[1]=1;前面没有比它小的;

前两个数的LIS为dp[2]=1;前面没有比它小的;

前三个数的LIS为dp[3]=2;前面的A[2]比它小，dp[3]=dp[2]+1;

前四个数的LIS为dp[4]=3;前面的都比它小，dp[4]=max{dp[1]+1,dp[2]+1,dp[3]+1};

可看出状态转移方程为dp[i]={1,d[j]+1,其中j < i&&A[i] > A[j])

代码：

int lis(int*a,int n)//O(n^2)
{
for(int i=0;i<n;i++){
dp[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++){
if(a[i]>a[j])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
ans=max(ans,dp[i]);
return ans;
}

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码：

int lis(int*a,int n)//O(nlogn)
{
int l,r,mid,len=1;
D[0]=a[0];
for(int i=1;i<n;i++){
l=0,r=len;
while(l<=r){
mid=(l+r)/2;
if(D[mid]<a[i])l=mid+1;
else r=mid-1;
}
D[l]=a[i];
if(l>len)len++;
}
return len;
}