陶哲轩 实分析 第二章第二小节 习题解答

陶哲轩 实分析 第二小节 习题

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理一份习题解答。

2.2.1 证明自然数加法是结合的 (a + b) + c = a + (b + c)

数学归纳法

a=0a = 0 时，

左边：

(0+b)+c=b+c(0 + b) + c = b + c

右边：

0+(b+c)=b+c0 + (b + c) = b + c

左边 = 右边

假设当 a=na = n 时，(n+b)+c=n+(b+c)(n + b) + c = n + (b + c) 成立

则，当 a=n++a = n++ 时

((n++)+b)+c=((n+b)++)+c=((n+b)+c)++=(n+(b+c))++=(n++)+(b+c)
\begin{align}
((n++) + b) + c &= ((n + b)++) + c \\
&= ((n + b) + c) ++ \\
&= (n + (b + c))++ \\
&= (n++) + (b + c)
\end{align}

证毕

2.2.2 设 a 是一个正数，那么恰存在一个自然数 b，使得 (b++) = a

数学归纳法

a=1a = 1 时 b=0b = 0

假设 a=na = n 时， (b++)=a(b++) = a 成立

则当 a=n++a = n++ 时， b=nb = n 满足 (b++)=a(b++) = a

证毕

2.2.3 自然数序的基本性质

(a) a≥aa \geq a （序是自反的）

a+0=aa + 0 = a

证毕

(b) a≥ba \geq b 且 b≥cb \geq c 则 a≥ca \geq c （序是传递的）

a+m1=bb+m2=c
a + m_1 = b \\
b + m_2 = c

所以

(a+m1)+m2=ca+(m1+m2)=c
(a + m_1) + m_2 = c \\
a + (m_1 + m_2) = c

所以 a≥ca \geq c

证毕

(c) 若 a≥ba \geq b 且 b≥ab \geq a 则 a=ba = b （序是反对称的）

a+m1=bb+m2=aa+m1+m2=a
a + m_1 = b \\
b + m_2 = a \\
a + m_1 + m_2 = a

所以 m1+m2=0m_1 + m_2 = 0

所以 m1=0m_1 = 0, m2=0m_2 = 0

所以 a=ba = b

(d) a≥ba \geq b 当且仅当 a+c≥b+ca + c \geq b + c （加法保序）

先证明 a≥b⟹a+c≥b+ca \geq b \Longrightarrow a + c \geq b + c

数学归纳法

c=0c = 0 时， a+0≥b+0a + 0 \geq b + 0 显然成立

假设 c=nc = n 时， a+n≥b+na + n \geq b + n 成立

当 c=n++c = n++ 时

a+(n++)+m=((a+n)++)+m=((a+n)+m)++=(b+n)++=b+n++
\begin{align}
a + (n++) + m &= ((a + n)++) + m \\
&= ((a + n) + m)++ \\
&= (b + n)++ = b + n++
\end{align}

所以

a+(n++)≥b+(n++)
a + (n++) \geq b + (n++)

证毕

再证明 a+c≥b+c⟹a≥ba + c \geq b + c \Longrightarrow a \geq b

a+c+m=b+ca+m=ba>b
a + c + m = b + c \\
a + m = b \\
a > b

(e) a<ba < b 当且仅当 a++≤ba++ \leq b

先证明 a<b⟹a++≤ba < b \Longrightarrow a++ \leq b

a<ba < b 表明 a+m=ba + m = b 且 a≠ba \neq b, m≠0m \neq 0

由于 m≠0m \neq 0 所以

m=(n++)a+(n++)=b(a++)+n=b
m = (n++) \\
a + (n++) = b \\
(a++) + n = b


所以 a≤ba \leq b

再证明 a++≤b⟹a<ba++ \leq b \Longrightarrow a < b

(a++)+m=ba+(m++)=b
(a++) + m = b\\
a + (m++) = b


所以 a++≤ba++ \leq b

因为 m++≠0m++ \neq 0 所以 a≠ba \neq b

(f) a < b 当且仅当对某个正数 d，b = a + d

先证明 a<b⟹b=a+da < b \Longrightarrow b = a + d

a<ba < b 所以

a+d=bd≠0a + d = b\\
d \neq 0

所以 dd 是正数

b=a+db = a + d

再证明 b=a+d⟹a<bb = a + d \Longrightarrow a < b

b=a+d⟹a≤bb = a + d \Longrightarrow a \leq b

由于 d≠0d \neq 0， 所以 b≠a b \neq a， 所以 a<ba < b

证毕

2.2.4 验证命题 2.2.13 的三个子命题

(1) 证明 0≤b0 \leq b 对于一切 bb 成立

因为：0+b=b0 + b = b

所以 : 0≤b0 \leq b

证毕

(2) 若 a>ba > b 证明 a++>ba++ > b

若 a>ba > b，则有 a=b+m a = b + m，且 m≠0m \neq 0

a++=(b+m)++=b+m++a++>b
a++ = (b + m)++ = b + m++ \\
a++ > b


证毕

(3) 若 a=ba = b 则 a++>ba++ > b

因为：a=ba = b

所以：(a++)=(b++)=b+1(a++) = (b++) = b + 1

所以：a++>ba++ > b

证毕

2.2.5 证明命题 2.2.14

前提：若 P(m′)P(m') 对于一切 m0≤m′<mm_0 \leq m' < m 成立，则 P(m)P(m) 也成立。

证明：P(m)P(m) 对于一切 m0≤mm_0 \leq m 都成立。

定义一个性质 Q(n)Q(n) ，当命题 P(m)P(m) 对于一切 m0≤m<nm_0
\leq m < n 成立时为真，否则为假。

在 P(m′)P(m') 对于一切 m0≤m′<mm_0 \leq m' < m 成立 这个前提成立的情况下 Q(m0)Q(m_0) 为真，P(m0)P(m_0) 为真。

假设当 n=n′>m0n = n' > m_0 时， Q(n′)Q(n') 成立，也就是说 P(m)P(m) 对于一切 m0≤m<n′m_0
\leq m < n’ 成立。由前提，可知 P(n′)P(n’) 也成立。

所以： P(m)P(m) 对于一切 m0≤m<n′+1m_0 \leq m < n'+ 1 成立。也就是说 Q(n′+1)Q(n'+1) 成立。

所以 Q(n)Q(n) 对于一切的 n>m0n > m_0 成立。

所以 P(n−1)P(n-1) 对于一切的 n>m0n > m_0 成立。

所以P(n)P(n) 对于一切的 n>m0n > m_0 成立。

证毕

2.2.6 证明向后归纳原理

条件：若 P(m++)P(m++) 成立，则 P(m)P(m) 成立。

命题：若 P(n)P(n) 成立，则对于一切 m≤nm \leq n，P(m)P(m) 成立。

数学归纳法：

当 n = 1 时。若 P(1)P(1) 成立，由条件可知 P(0)P(0) 成立。

所以 P(1)P(1) 成立时对一切的m≤1m \leq 1 有，P(m)P(m) 成立，命题是成立的。

假设当 n=n′n = n' 时，命题成立，即 P(n′)P(n')成立可推导出对一切的 m≤n′m \leq n' 都有 P(m)P(m) 成立。

那么当 n=n′+1n=n'+1 时，P(n′+1)P(n'+1) 成立，由条件可得 P(n′)P(n') 成立。由上面假设，对一切的 m≤n′m\leq n' 都有 P(m)P(m) 成立，再加上P(n′+1)P(n'+1) 成立，就有对一切的 m≤n'+1m\leq n′+1 都有 P(m)P(m) 成立。

所以对于一切的 nn，命题都成立。