置换与Polya 计数原理-理论部分

背景：

一个正方形用红色和蓝色涂色给顶点涂色，方案有多少种呢？
如果不考虑对称，答案就该是2^4=16，考虑对称，结果就该是：



一共六种。Polya定理就是研究这样的分布问题。

定义一一映射关系


假设有：

  那么



推广映射关系：



定义恒等排列：



我们有：


关于f的逆排列：设



第一行和第二行互换：


然后第一行以自然数的顺序排列：


有：

    (

运算符表示二元映射操作）

以上也是寻找2行n列映射的逆的方法：1 .两行互换 2. 第一行自然数排列。

群：
定义集合 G={a,b,c……}和二元运算

，如果集合满足：

1. 封闭性。a -> G, b -> G， c=ab -> G

2. 结合律。


3. 有单位元。存在单位元e，使得G里的任意元素a满足


4. 逆元。G内的任意元素存在逆元，

， 称b是a的逆元。

我们称G在

的运算下是一个群。

举例： G=(0,1,2,3,……7)在 mod 8的情况下是一个群。

ai与i变换——置换 ：


这是一个n阶置换，有排列数n!个

置换乘法也可以直接带入上诉过程，即

举例：






在置换乘法下，如果满足群的特质，成为置换群。

我们称

是一个循环置换。
对于下面的正方形：



顺时针旋转90度后，4个角对应的新点就是2 3 4 1，所以有


旋转2次，3次就分别对应：

    


如果说两个循环没有共同文字，那么他们是不相交的。

不相交的循环相乘满足交换律。

任意置换可以表示成若干不相交循环的乘积，且表示是唯一的。例如：


置换的循环节数是循环的个数。（上面的循环节是2）

Sn中的置换可以分解成格式：

  

代表n阶循环的出现次数。

具有相同的格式的循环构成一个共轭类。属于共轭类的元素个数是


解释： 一个K阶循环可以重复K次（循环排列），如k=2, 有(1,2)(2,1)。那么

个K阶循环就有

的重复

由于

个K循环互不相交，所以有

次循环（全排列）

所以计算式就该是


举例： 4个元素构成集合（1,2,3,4），

的共轭类有3个: 

(1,2)(3,4)

(1,3)(2,4)

(1,4)(2,3)

计算：

和结果一致。

K不动置换类：
设K是1--N的一个整数，G中使得K保持不变的置换全体，记做

（G中使得K保持不变的置换类，简称K不动置换类）

举例：G={（1,2），（3,4），（1,2）（3,4）}，那么有



等价类：在群G的作用下，a变成b，b变成a，a和b属于同一类，K所属的等价类可以看成K在G的作用下的轨迹。

burnside引理：

设G是N={1,2，……，n} 上的置换群，G在N上可以引出不同的等价群，不同的等价群的个数是



表示g中1阶循环的个数，|G|表示置换群的个数。

举例：回到最原始的问题，正方形四顶点涂色问题。如果我们不考虑旋转问题，那么它有这样的情况：



原始图像：


：

1 2 3 4 …… 15 16

1 2 3 4 …… 15 16

经过顺时针90旋转，各个图形看起来变了，如3 -> 6; 5 -> 4


:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 6 3 4 5 10 7 8 9 12 11 16 13 14 15

再转90度：


:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 5 6 3 4 9 10 7 8 11 12 15 16 13 14

旋转270度：


:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 4 5 6 3 8 9 10 7 12 11 14 15 16 13

计算：


也即是这六种涂色方案：



ploya 定理：

设G={a_1,a_2,……,a_g} 是n个对象的置换群，用m种颜色给这n个对象着色，那么不同的着色方案数是

  

是置换

的循环节数

用polya定理来解决那个正方形涂色问题:









计算过程是