【NOI2002】银河英雄传说

Overview

有M=30000M=30000个点，NN个操作（N≤500000N\leq 500000）。

每次操作如下：

（1）MM ii jj：将ii所在的排列合并到jj所在的排列；

（2）CC ii jj：若ii，jj不在同一排列，输出−1-1，否则输出ii与jj之间的数的个数。

Analysis

【STEP1】 要用在线算法

这道题的多个操作，感觉上就是在线维护了。

【STEP2】 暴力的想法

首先考虑暴力维护，合并操作用一个nextnext数组就可以实现，但是判断在不在一个排列，排列中有多少个数，一次要O(n)O(n)，很明显不行。

【STEP3】 用并查集优化暴力算法

再考虑用数据结构来优化。

有合并操作，还要判断在不在一个集合中，想到了并查集。

在不在一个排列中很好解决，现在只用解决排列中两数间隔多少个数就可以了。

【STEP4】 试着求解来扩充并查集

现在要扩充并查集。

并查集求区间的方法，通常是维护前缀和，用区间减法。

于是我们设两个数组：

f[i]f[i]：ii的父亲；

dis[i]dis[i]：ii到父亲的距离。

试着使得各个操作得以满足维护的要求。

FindFatherFindFather操作最容易处理，先不用管，先搞定合并操作。

Merge(x,y)Merge(x,y)：将xx所在的排列接在yy后

首先求出fx,fyfx,fy，然后将fxfx接在fyfy后，f[fx]=fyf[fx]=fy。

但是dis[fx]dis[fx]怎么办？

dis[fx]=size[fy]dis[fx]=size[fy]，这就是说，我们要维护当前每个集合的元素个数即可。

再设一个数组size[i]size[i]，当ii不是集合代表元时没有意义，当ii是集合代表元时表示这个集合的大小。

【STEP5】 整理思路

于是我们现在一共定义33个数组：f[N]f
，dis[N]dis
，size[N]size
。

对各个操作加以维护即可。

①FindFather(i)FindFather(i)：路径压缩点ii

1 若i=f[i]i=f[i]则不用处理，返回代表元ii；

2 记pre=f[i],anc=FindFather(pre)pre=f[i],anc=FindFather(pre)；

3 则f[i]=anc,dis[i]+=dis[pre]f[i]=anc,dis[i]+=dis[pre]；

②Merge(x,y)Merge(x,y)：将xx所在的排列接在yy的排列后

1 fx=FindFather(x),fy=FindFather(y)fx=FindFather(x),fy=FindFather(y)；

2 f[fx]=fyf[fx]=fy；

3 dis[fx]=size[fy]dis[fx]=size[fy]；

4 size[fy]+=size[fx]size[fy]+=size[fx]；

③Query(x,y)Query(x,y)：求xx到yy的距离

1 fx=FindFather(x),fy=FindFather(y)fx=FindFather(x),fy=FindFather(y)；

2 若fx≠fyfx\neq fy，那么不在同一列，返回−1-1；

3 求|dis[x]−dis[y]|−1|dis[x]-dis[y]|-1即可。

Attention

注意一个坑点，就是有3000030000个固定的点，而不是有nn个。

nn是操作数量！！！！

Sumarize

PS：话说NOI连续两年出并查集了……

然而是很早以前……

突然想起NOI2015用并查集坑了T1的9个点，2333333

这道题首先给了我一个启发，就是我们在求解问题的时候，可以先想一下暴力算法，再从数据结构、算法优化等各种角度加以优化。

这样不仅是一种好的方法，而且也有一个程序来对拍。

然后就是这类并查集问题：并查集可以将序列用链划分，同一条链上可以用区间减法求区间和。

最后就是在尝试求解的过程中，很可能会遭到失败。这时候不要全盘否定，要学会调整，增加几个变量。

例如本题发现mergemerge操作时f[x]f[x]无法求，我们考虑再加一个数组nextnext。

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>

const int M=30000;

int n;
int f[M+10],dis[M+10];
int size[M+10];

inline int read(void)
{
int x=0; char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar());
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x;
}

int findf(int i)
{
if (f[i]==i) return i;
int pre=f[i],anc=findf(f[i]);
f[i]=anc,dis[i]+=dis[pre];
return anc;
}

int main(void)
{
n=read();
for (int i=1;i<=M;i++) f[i]=i,size[i]=1;

char c; int x,y; int fx,fy;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("\n"); c=getchar(); x=read(),y=read();
fx=findf(x),fy=findf(y);
if (c=='M')
{
f[fx]=fy;
dis[fx]=size[fy];
size[fy]+=size[fx];
}
else printf("%d\n",fx!=fy?-1:dis[x]<dis[y]?dis[y]-dis[x]-1:dis[x]-dis[y]-1);
}

return 0;
}