莫比乌斯反演定理证明（两种形式）

PoPoQQQ没有给出形式二的证明，我恨PoPoQQQ，证了好久。

证明之前，请先看看PoPoQQQ的ppt，当你看完发现没有证明想哭的时候，看看这篇博客。

莫比乌斯反演定理形式一：

F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)F(n)=\sum_{d|n}f(d)=>f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})

证明:

恒等变形得：

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)

因为之前证明的这个定理：

∑d|nμ(d)={10n==1n>1\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n==1\\0&n>1\end{cases}

所以当且仅当nk=1\frac{n}{k}=1，即n=k时，∑d|nkμ(d)=1\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1,其余时候等于0。

故∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n)

莫比乌斯反演定理形式二：

F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)F(n)=\sum_{n|d}f(d)=>f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)

证明：

令k=dnk=\frac{d}{n},那么，就得到f(n)=∑k=1+∞μ(k)F(nk)=∑k=1+∞μ(k)∑nk|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)f(n)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)F(nk)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)=\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)

所以当且仅当tn=1\frac{t}{n}=1，即t=n时，∑k|tnμ(k)=1\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=1,其余时候等于0。

故得到∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=f(n)

证明完毕。