85.Count Primes

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

分析：题目的要求是求小于n的素数个数。素数的定义:大于等于2且只能被1和其本身除尽的整数。

思路：初始化一个长度为n的布尔型数组。a[i]为true表示i不是素数，为false表示i是素数。所以最后统计a[2...n]中false元素的个数即可。

依次排除2的2以上的倍数，3的3以上倍数，5的5以上倍数，7的7以上倍数等各个素数的倍数。4和6等合数在前面排除2或3的倍数的时候已经被排除过了。 从i*i开始排除的原因是，i*(i-m)在前面排除i-m的倍数的时候已经计算过了。比如排除5的倍数的时候，从5*5开始就好了，不用排除5倍之前，如5*3在前面3*5的时候已经排除过了。

在leetcode上提交通过的代码。

/**
* 提交通过！
* 思路：初始化一个长度为n的布尔型数组。a[i]为true表示i不是素数，为false表示i是素数。所以最后统计a[2...n]中false元素的个数即可。
* 依次排除2的2以上的倍数，3的3以上倍数，5的5以上倍数，7的7以上倍数等各个素数的倍数。4和6等合数在前面排除2或3的倍数的时候已经被排除过了。
* 从i*i开始排除的原因是，i*(i-m)在前面排除i-m的倍数的时候已经计算过了。
* 比如排除5的倍数的时候，从5*5开始就好了，不用排除5倍之前，如5*3在前面3*5的时候已经排除过了。
*/
public int countPrimes3(int n) {
int totalNum = 0;
if(n<=2){/*2是最小的素数，比2小的素数个数是0.*/
return 0;
}
/*初始化一个长度为n的布尔型数组。a[i]为true表示i不是素数，为false表示i是素数。所以最后统计a[2...n]中false元素的个数即可。*/
boolean a[] = new boolean
;
for(int i = 2;i*i<n;i++){
if(!a[i]){/*依次排除2的2以上的倍数，3的3以上倍数，5的5以上倍数，7的7以上倍数等各个素数的倍数。4和6等合数在前面排除2或3的倍数的时候已经被排除过了*/
for(int j =i;i*j<n;j++){/*从i*i开始计算的原因是，i*(i-m)在前面排除i-m的倍数的时候已经计算过了*/
a[i*j]=true;
}
}
}
/*后统计a[2...n]中false元素的个数.*/
for(int i = 2;i<n;i++){
if(a[i]==false){
totalNum++;
}
}
return totalNum;
}

提交不通过的代码，逻辑对，但是提示运行超时。

/**
* 提交不通过，运行超时！
* 给定正整数，求小于n的素数的个数。 素数的定义:大于等于2且只能被1和其本身除尽的整数。
* 2是最小的素数，比2小的素数个数是0.
* 除了2以外偶数肯定不是素数，所以只需要判断奇数即可。
* 虽然已经尽量减少去判断素数的次数了，但是提交的时候还是超时。
*/
public int countPrimes(int n) {
int totalNum = 0;
if(n<=2){/*2是最小的素数，比2小的素数个数是0.*/
return 0;
}
totalNum++;//走到这一步说明2算一个小于n的素数。
/*除了2以外偶数肯定不是素数，所以只需要判断奇数即可*/
for(int i=3;i<n;i=i+2){
if(isPrime(i)){
totalNum++;
}
}
return totalNum;
}
/**
* 判断 一个整数是否为素数
*/
public boolean isPrime(int a) {
boolean flag = true;
/*因为在上面我控制了传进来的a不可能是偶数，所以可以开始从3除*/
for (int i = 3; i <= Math.sqrt(a); i++) {
if (a % i == 0) {// 若能被整除，则说明不是素数，返回false
flag = false;
break;// 跳出循环
}
}
return flag;
}

/**
* 提交不通过，运行超时！
* 虽然已经尽量减少去判断素数的次数了，但是提交的时候还是超时。
*/
public int countPrimes2(int n) {
int totalNum = 0;
if(n<=2){/**/
return 0;
}
totalNum++;//走到这一步说明2算一个小于n的素数。
/*除了2以外偶数肯定不是素数，所以只需要判断奇数即可*/
for(int i=3;i<n;i=i+2){
boolean flag = true;
/*因为在上面我控制了传进来的a不可能是偶数，所以可以开始从3除*/
for (int j = 3; j <= Math.sqrt(i); j++) {
if (i % j == 0) {// 若能被整除，则说明不是素数，返回false
flag = false;
break;// 跳出循环
}
}
if(flag){
totalNum++;
}
}
return totalNum;
}