算法导论第三版习题5.3

5.3-1

在进入循环前，先将在整个数组中随机选择一个数至于A[1]A[1]即可：

PERMUTE-IN-PLACE(A)
1  n=A.length
2  swap A[1] with A[RANDOM(1,n)]
3  for i=2 to n
4    swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]

第二步其概率为1n\frac{1}{n}，后面一样

5.3-2

不能。虽然这个算法确实不会产生恒等排列，但是不能产生除恒等排列外的任意排列。因为算法第三步使所有A[i]A[i]不能至于原来的位置。例如，当n=3n=3时，除恒等排列外一共应该有n!−1=5n!-1=5个排列，但该算法只能产生3个排列。

5.3-3

不会。。。

5.3-4

对于AA中每个元素A[i]A[i]来说，当offsetoffset确定了，则A[i]A[i]将出现在i+offseti+offset位置（超过了nn就减去nn)，这样由于offset=RANDOM(1,n)offset=RANDOM(1,n)，offsetoffset取1−n1-n中任意一个的概率都为1/n1/n，所以A[i]A[i]出现在BB中任何替丁位置的概率都为1/n1/n。

但是因为该算法只是在1−n1-n之间取了一个数，然后将整个数组AA向右平移了offsetoffset个位置，所以一共只能产生nn个排列，而均匀随机排列一共应该有n!n!个，所以Aemstrong教授错了

5.3-5

在过程PERMUTE-BY-SORTING中，我们是在1到n3n^3这n3n^3个数中随机选择nn个出来放在数组P中，所以对于P，其中每一个元素都唯一的概率为

Pr=n3⋅(n3−1)⋅⋯⋅(n3−n+1)n3nPr=\frac{n^3\cdot(n^3-1)\cdot\cdots\cdot(n^3-n+1)}{n^{3n}}

由于

n3−n+1>n3−n2=n2(n−1)n^3-n+1\gt n^3 -n^2=n^2(n-1)

所以

Pr≥[n2(n−1)]nn3nPr\ge\frac{[n^2(n-1)]^n}{n^{3n}}

也即

Pr≥n−1n=1−1nPr\ge\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}

5.3-6

可以对于相同的几个优先级的继续使用PERMUTE-BY-SORTING算法将其再次进行排序

5.3-7

算法实际执行的第一步为

S=RANDOM-SAMPLE(0,n-m)=∅S=\text{RANDOM-SAMPLE(0,n-m)}=\emptyset

第二步中取第一个元素i=RANDOM(1,n−m+1)i=RANDOM(1,n-m+1)，相当于在总集和的前n−m+1n-m+1个元素中任选一个元素，概率为1n−m+1\frac{1}{n-m+1}

之后娶第二个元素时，总集和中的前n−m+2n-m+2个元素中，第一次已经取得了一个元素，故还剩n−m+1n-m+1个元素，在这n−m+1n-m+1个元素中在任取一个作为第二个元素，其概率也为1n−m+1\frac{1}{n-m+1}

对于所有取得的mm个元素，概率都为1n−m+1\frac{1}{n-m+1}

故每个m子集是等可能的，且一共只取mm次，故值调用RAMDOM函数mm次