空间向量坐标运算

【基础知识必备】
一、必记知识精选
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝（i，j，k按右手系排列）建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同.空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当

与i方向相同时，x＞0，反之x＜0.同理确定y、z.点P的坐标与

坐标相同.
2.向量的直角坐标运算
设a=(a1，a2，a3)，b=（b1，b2，b3），则
a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)，
a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)，
a·b=a1b1+a2b2+a3b3
a∥b

a1=

b1，a2=

b2，a3=

b3(

∈R).或

=

=


a⊥b

a1b1+a2b2+a3b3=0
3.夹角和距离公式
(1)夹角公式
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)
则cos<a，b>=


（2）距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
|

|=

.
（3）定比分点公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
若M分

为定比

（

≠-1），则M的坐标为
x=

，y=

，z=

，
特别地，当

=1即M为中点时得中点坐标公式：
x=

，y=

，z=

.
由中点公式，可得以A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3）为顶点的三角形重心公式：x=

，y=

，z=

.
4.两个概念
(1)向量垂直于平面，若表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，称a垂直于α，记作a⊥α.
(2)法向量，如果a⊥α，称向量a是α的法向量.
二、重点难点突破
本节重点是空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托，让尽可能多的点，尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上，简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a在空间用惟一的有序数组a=(x，y，z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用，两公式都与坐标原点的选取无关.
三、易错点和易忽略点导析
1.本节课涉及到几何量的代数运算，夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.
2.易忽略向量坐标的表达形式a=（x，y，z），在实际解题中有很多同学忽略了“=”，与点坐标(x，y，z)混淆.