找新朋友(欧拉函数)
2016-01-20 19:37
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http://acm.hdu.edu.cn/game/entry/problem/show.php?chapterid=2§ionid=1&problemid=8
第一思路 就是找出 比N小的 所有与N 最大公约数为1(互质)的数,想法没错,结果Time Limit Exceeded
显然该题 涉及欧拉函数
欧拉函数定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。
例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1.
2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质
3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)=
φ(m)φ(n).
根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。
E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;
若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);
本题用筛选法处理数据,用到哈希表。凡是能被n整除的数的所有倍数都是和n有公约数。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int main()
{
int a[32768];
int i,j,t,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(a,0,sizeof(a));
m=n/2;
for(i=2;i<=m;i++) //筛选法求约数关系
if(n%i==0)
for(j=i;j<n;j+=i)
a[j]=1;
int sum=0;
for(i=1;i<n;i++)
if(!a[i])
sum++;
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
Problem Description 新年快到了,“猪头帮协会”准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数,否则都是新朋友,现在会长想知道究竟有几个新朋友?请你编程序帮会长计算出来。 |
Input 第一行是测试数据的组数CN(Case number,1<CN<10000),接着有CN行正整数N(1<n<32768),表示会员人数。 |
Output 对于每一个N,输出一行新朋友的人数,这样共有CN行输出。 |
Sample Input2 25608 24027 |
Sample Output7680 16016 |
Author SmallBeer(CML) |
Source 杭电ACM集训队训练赛(VII) |
#include <iostream> using namespace std; int gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; else{ gcd(b, a % b); } } int main() { int caseNumber; cin >> caseNumber; while(caseNumber--){ int i,n; int result = 0; cin >> n; for(i = 1; i < n;i++ ){ if(gcd(i,n)==1){ result++; } } cout << result << endl; } return 0;
显然该题 涉及欧拉函数
欧拉函数定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。
例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1.
2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质
3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)=
φ(m)φ(n).
根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。
E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;
若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int Eular(int x){ int ans=1; for(int i=2;i*i<=x;i++){ if(x%i==0){ x/=i; ans*=(i-1); while(x%i==0){ x/=i; ans*=i; } } } if(x>1) ans*=(x-1); return ans; } int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); int t,n; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d",&n); printf("%d\n",Eular(n)); } return 0; }
本题用筛选法处理数据,用到哈希表。凡是能被n整除的数的所有倍数都是和n有公约数。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int main()
{
int a[32768];
int i,j,t,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(a,0,sizeof(a));
m=n/2;
for(i=2;i<=m;i++) //筛选法求约数关系
if(n%i==0)
for(j=i;j<n;j+=i)
a[j]=1;
int sum=0;
for(i=1;i<n;i++)
if(!a[i])
sum++;
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}
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