01背包问题
2016-01-20 11:11
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01背包例子:01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。同理,c2=0,b2=3,a2=6。对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;在这里,f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。Pi表示第i件物品的价值。决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?题目描述:有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?#include<stdlib.h> #include<stdio.h> int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值 int max(int a,int b) //一个大小比较函数,用于当总重大于第I行时 { if(a>=b) return a; else return b; } int Knap(int n,int w[],int v[],int x[],int C) { int i,j; for(i=0;i<=n;i++) V[i][0]=0; for(j=0;j<=C;j++) V[0][j]=0; for(i=0;i<=n-1;i++) for(j=0;j<=C;j++) if(j<w[i]) V[i][j]=V[i-1][j]; else V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]); j=C; for(i=n-1;i>=0;i--) { if(V[i][j]>V[i-1][j]) { x[i]=1; j=j-w[i]; } else x[i]=0; } printf("选中的物品是:\n"); for(i=0;i<n;i++) printf("%d ",x[i]); printf("\n"); return V[n-1][C]; } int main() { int s;//获得的最大价值 int w[4];//物品的重量 重量 价值 和物品的状态 均对应着存到数组中,物品从1开始。 int v[4];//物品的价值 int x[4];//物品的选取状态 选中则是1 没选中为0 int n,i; int C;//背包最大容量 n=4; printf("请输入背包的最大容量:\n"); scanf("%d",&C); printf("物品数:\n"); scanf("%d",&n); printf("请分别输入物品的重量:\n"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&w[i]); printf("请分别输入物品的价值:\n"); for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&v[i]); s=Knap(n,w,v,x,C); //调用核心函数 printf("最大物品价值为:\n"); printf("%d\n",s); system("pause"); return 0; }
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