【算法】M-01主项定理Master Method

原博主链接：http://blog.csdn.net/rizejin/article/details/5916833

主项定理所需条件：
递归方程如下
T(n) = a * T(n/b) + f(n)
a >= 1, b  > 1, f(n)为简单函数

判断n^log b (a)与h(n)的大小关系

= Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为   Θ(h(n)*lg(n))

> Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为   Θ(n^(log a/log b))

< Θ(h(n)) ：该方法复杂度为 Θ(h(n))

eg:

T(n) = T(n/2)+1：Θ(log(n))（二分查找）

T(n) = 2T(n/2)+n ：Θ(n*log(n))（归并排序）

n^log b (a)其实相当于用递归树方法解出的递归方程的右侧的第一项，

而f(n)则是递归方程的右侧的第二项，这样，主项定理实际上是在比较组成结果的两个函数项，
而且这种比较是按照数量级（或者说是变化幅度）来比较的，也就是说，如2n 与 28n是
数量级（变化幅度）相当的。

这样就有了三种不同的情形：

f(n) < nlogba                

也就是 f(n) = O(nlogba -e)
，e > 0为任意小的常数

或者说，f(n) 比 nlogba变化的慢，慢ne

那么，T(n) Î
Q (nlogba)

f(n) > nlogba          

也就是 f(n) = W(nlogba +e)
，e > 0为任意小的常数

或者说，f(n) 比 nlogba变化的快，快ne

那么， T(n) Î
Q(f(n))

可以简单地说，递归方程的右侧的两项，哪项变化的块，T(n)就属于哪项的数量级

f(n) = nlogba

也就是两项的数量级相当，就给这个数量级乘上一个lg n

T(n) Î Q(nlogba * lg n)

 

Examples（以下示例来源于网络）:

T(n) = 5T(n/2) + Q(n2)
Case 1: If f(n) =
O(nlogba -e)
for some constant e > 0 then T(n)ÎQ(nlogba)
Determine: a, b, f(n) and logba

a = 5

b = 2

f(n) = Q(n2)

logb a = log2 5 ≈ 2.32

Is f(n) Î O(nlg 5 -e) fore > 0 ?
Yes. f(n) = Q(n2)Î O(nlg 5 -e)
= O(n2.32 -e) fore ≈ 0.32
T(n) Î
Q(nlog25)

2. T(n) = 2T(n/2) + n

Determine: a, b, f(n) and logb(a)

a = 2

b = 2

f(n) = n

logb a = log2 2 = lg 2 = 1

Case 3: If f(n) =
Q(nlogba) then T(n)Î
Q(nlogba lg n)

f(n) = n Î
Q(nlog22) =Q(n1)
T(n) Î
Q(nlog22 lg n) =Q(n lg n)

3. T(n) = 5T(n/2) + Q(n3)

Determine: a, b, f(n) and logb(a)

a = 5

b = 2

f(n) = Q(n3)

logb a = log2 5 ≈ 2.32

Case 2: If f(n) =
W(nlogba+e)
for some constant e > 0

f(n) = Q(n3)ÎW(nlog25+e)
= W(n2.32+e) fore
≈0.68

and af(n/b) ≤ cf(n) for some constant c < 1 and all sufficiently large n

5(n/2)3≤ cn3

5n3/8 ≤ cn3

c = 5/8 < 1

then T(n) Î
Q(n3)