最长不降子序列（LIS）

为题描述：给定一个序列X={x1,x2,x3…xn}，求X的一个子序列使得该子序列单调不降，且长度最长。

0(n^2)

设c[i]表示以xi结尾的单调不降子序列的长度。很显然，c[i]取决于c[j],1=<j<=i-1，若x[i]>x[j]，且c[i]<c[j]+1，则c[i]=c[j]+1，可以总结出以下公式。



c[i]的最大值即为所求单调不降子序列的最大长度

代码模板：

public class LIS
{
static int n;//序列的大小
static int s[];//s[i]:表示第i个数的大小
static int c[];//c[i]:以s[i]结尾的单调不降子序列的长度
public static void main(String[] args)
{

}

static void dp()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
c[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(s[i]>=s[j] && c[i]<c[j]+1)
{
c[i]=c[j]+1;
}
}
}
}
//求c[i]得最大值，略
}

0(nlogn)
设一个数组a，a维持着一个长度为i且第i个数最小的最长不降子序列。举例说明，s={1,3,4,2,6,5,3}，a[1]=s[1]=1，因为s[2]>=a[1]，所以a[2]=s[2]；因为s[3]>=a[3]，所以a[3]=s[3]；s[4]<a[3]，这时我们需要在a[1]~a[3]中找出最接近s[4]且大于s[4]的数，并且用s[4]来替换，即a[2]=2。依照此方法，a[4]=6，a[4]=5，a[3]=3，所以最长不降子序列的长度为4。用二分法查找a中最接近s[i]且大于s[i]的数

static int a[]=new int[n+1];
static int find(int l,int r,int x)//二分查找
{
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(a[mid-1]<=x && a[mid]>x)
return mid;
else if (a[mid]>x)
{
r=mid-1;
}
else
{
l=mid+1;
}
}
return l;
}

static void dp2()
{
int j=0;
int k=0;
a[0]=-10000000;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]>=a[k])
{
k++;
a[k]=s[i];
}else
{
j=find(1, k, s[i]);
a[j]=s[i];
}
}
}

顺便提一下，对于最长上升子序列，只需要将0(n^2)中的是s[i]>=s[j]改成s[i]>s[j]，将0(nlogn)中的a[mid-1]<=x && a[mid]>x改成a[mid-1]<x && a[mid]>=x