MIT算法导论-第12讲-最小生成树-Prim算法

问题定义

输入：无向图G=（V，E），每条边有一个权重，另假设所有权值是不同的输出：一棵生成树，连接了所有顶点，权重总和最小。

分析过程

(http://www.cnblogs.com/numbersix/p/4909750.html)

1. MST拥有最优子结构：去掉MST的一条边，MST分裂成两个子树T1、T2，则T1、T2分别是子图G1、G2的MST。

1.1 子图G1只包含T1的顶点， 子图G2只包含T2的顶点，假设拿掉的边为（u，v），u在G1内，v在G2内
1.2 如果G1的MST不是T1而是T1'，根据MST的性质(连接了所有顶点)，那么u也在T1'内，此时将T1'与T2通过(u,v)相连，可以得到一个新的子树T', T'权值小于T，与T是MST的前提矛盾。

2. MST拥有重叠子问题：拿掉x条边使得T分为多个子树，即使这x条边拿掉的顺序不同，得到的子树集是一样的

3. MST的贪心选择属性（Greedy choice property）：局部最优解也是全局最优解。将G分为两个子图，设(u,v)是连接该两个子图的边之中权值最小的边（局部最优解），则(u,v)也是最小生成树里的一条边（属于全局最优解）

3.1用剪贴法证明：连接两个子图的边中，如果有其他的边（u'，v'）小于（u，v），则可以裁剪掉（u，v），用（u'，v'）连接两个子图，得到一个总权值更小的MST，与前提矛盾

Prim算法

基本思想：

1. 在图G=(V, E) （V表示顶点 ，E表示边）中，从集合V中任取一个顶点（例如取顶点v0）放入集合 U中，这时 U={v0}，集合T(E)为空。

2. 从v0出发寻找与U中顶点相邻（另一顶点在V中）权值最小的边的另一顶点v1，并使v1加入U。即U={v0,v1 }，同时将该边加入集合T(E)中。

3. 重复2，直到U=V为止。 这时T(E)中有n-1条边，T = (U, T(E))就是一棵最小生成树。

朴素的Prim算法如果使用邻接矩阵来保存图的话，时间复杂度是O(N^2)，N+2N+…+N*（N-1），可见时间主要浪费在每次都要遍历所有点找一个最小距离的顶点，可以使用最小优先队列优化。

Prim算法的堆优化：

为了有效的实现Prim算法，需要一种快速的方法来选择一条新的边。在下面的伪代码中，连通图G和最小生成树的根节点r作为算法的输入，图采用邻接链表的形式存储。在算法的执行过程中，所有不在树A中的结点都存放在一个基于key属性的最小优先队列Q中。对于每个结点v,属性v.key保存的是连接v和树中其他结点的边中最小边的权重。约定：如果不存在这样的边，那么v.key=∞。属性v.π给出的是结点在树中的父节点。当Prim算法终止时，最小优先队列为空。

时间复杂度分析：

1.如果Q实现为一个二叉最小优先队列，我们可以使用Build-Min-Heap来执行算法的第1-5行，时间成本为O（V）。while循环中的语句一共要执行V次，EXTRACT-MIN操作的总时间为O（VlgV）。由于所有邻接链表的长度之和为2E，算法第8-11行的for循环的总执行次数为O（E）。算法第11行的赋值操作涉及一个隐含的decrease-key操作，该操作在二叉树最小堆上执行时间成本为O（lgV）。因此，Prim算法的总时间代价为O（VlgV+ElgV）。

2.如果使用fibonacci堆来实现最小优先队列Q。Prim算法的渐进运行时间可以得到进一步改善。如果fibonacci堆中有V个元素，则extract-min操作的时间摊还代价为O（lgV）,二decrease-key操作的摊还时间代价为O（1），因此，如果使用fibonacci堆来实现最小优先队列Q，则Prim算法的运行时间将改进到O（E+VlgV）。