poj3641(学习了)

素数的测试:

费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.

利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n很可能是素数.

二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.

利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.

如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数(若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式),q是非负整数,考察下面的测试:

序列:

a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n

把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真. Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).





借鉴别人的，虚心学习

#include
<
iostream
>

#include
<
ctime
>

#include
<
cstdlib
>

#include
<
cmath
>

#include
<
algorithm
>

using

namespace
std;

const

int
TIME
=
12
;
//
Miller测试次数

__int64 mod_mult(__int64 a, __int64 b, __int64 n)
//
计算(a*b)%n

{
__int64 s
=

0
;
a
=
a
%
n;

while
(b)
{

if
(b
&

1
)
{
s
+=
a;
s
%=
n;
}
a
=
a
<<
1
;
a
%=
n;
b
=
b
>>

1
;
}

return
s;
}

__int64 mod_exp(__int64 a, __int64 b, __int64 n)
//
计算(a^b)%n

{
__int64 d
=

1
;
a
=
a
%
n;

while
(b
>=
1
)
{

if
(b
&
1
)
d
=
mod_mult(d,a,n);
a
=
mod_mult(a, a, n);
b
=
b
>>

1
;
}

return
d;
}

bool
Wintess(__int64 a, __int64 n)
//
以a为基对n进行Miller测试并实现二次探测

{
__int64 m,x,y;

int
i,j
=
0
;
m
=
n
-
1
;

while
(m
%
2
==
0
)
//
计算(n-1)=m*(2^j)中的j和m,j=0时m=n-1,不断的除以2直至n为奇数

{
m
=
m
>>
1
;
j
++
;
}
x
=
mod_exp(a,m,n);

for
(i
=

1
;i
<=
j;i
++
)
{
y
=
mod_exp(x,
2
,n);

if
((y
==
1
)
&&
(x
!=
1
)
&&
(x
!=
n
-

1
))
//
二次探测

return

true
;
//
返回true时,n是合数

x
=
y;
}

if
(y
!=

1
)

return

true
;

return

false
;
}

bool
miller_rabin(__int64 n,
int
times)
//
对n进行s次的Miller测试

{
__int64 a;

int
i;

if
(n
==
1
)

return

false
;

if
(n
==
2
)

return

true
;

if
(n
%
2
==
0
)

return

false
;
srand(time(NULL));

for
(i
=
1
;i
<=
times;i
++
)
{
a
=
rand()
%
(n
-

1
)
+
1
;

if
(Wintess(a, n))

return

false
;
}

return

true
;
}

int
main()
{
__int64 a,p,tmp;

bool
prime;

while
(scanf(
"
%I64d%I64d
"
,
&
p,
&
a)
!=
EOF)
{

if
(a
==
0
&&
p
==
0
)

break
;
prime
=
miller_rabin(p,TIME);

if
(
!
prime)
//
p不是素数,则判断(a^p)%p=a是否成立

{
tmp
=
mod_exp(a,p,p);

if
(tmp
==
a)
printf(
"
yes\n
"
);

else

printf(
"
no\n
"
);
}

else

printf(
"
no\n
"
);
}
system(
"
pause
"
);

return

0
;
}