[LeetCode] Unique Binary Search Trees, Solution

Given n[/i], how many structurally unique BST’s[/b] (binary search trees) that store values 1…n[/i]?
For example,
Given n[/i] = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1         3     3      2      1
/     /      /
3     2     1      1   3      2
/     /
2     1         2                 3

» Solve this problem

[Thoughts]
这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
1 1 2 3 3
/ / /
3 2 1 3 2 1
/ /
2 3 1 2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
/
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况)
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]*Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0…k] * [ k+1….i] 0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。

[code]1:       int numTrees(int n) {
2:            vector<int> count(n+1, 0);
3:            count[0] =1;
4:            count[1] =1;
5:            for(int i =2; i<=n; i++)
6:            {
7:                 for(int j =0; j<i; j++)
8:                 {
9:                      count[i] += count[j]*count[i-j-1];
10:                 }
11:            }
12:            return count
;
13:       }

[Note]
这是很有意思的一个题。刚拿到这题的时候，完全不知道从那下手，因为对于BST是否Unique，很难判断。最后引入了一个条件以后，立即就清晰了，即
当数组为 1，2，3，4，.. i，.. n时，基于以下原则的BST建树具有唯一性：
以i为根节点的树，其左子树由[0, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。