批量梯度下降与随机梯度下降
2016-01-11 16:53
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批量梯度下降与随机梯度下降
发表于4个月前(2015-09-23 14:27) 阅读(78) | 评论(0) 2人收藏此文章, 我要收藏赞0
摘要 批量梯度下降与随机梯度下降
批量梯度下降 随机梯度下降
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1、批量梯度下降(BGD)的求解思路如下:
2、随机梯度下降(SGD)的求解思路如下:
3、方法比较:
4、对于上面的linear regression问题,与批量梯度下降对比,随机梯度下降求解的会是最优解吗?
5、梯度下降用来求最优解,哪些问题可以求得全局最优?哪些问题可能局部最优解?
参考资料:
下面的h(x)是要拟合的函数,J(theta)损失函数,theta是参数,要迭代求解的值,theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。其中m是训练集的记录条数,j是参数的个数。
![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_l8HI.jpg)
![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_8NnD.jpg)
1、批量梯度下降(BGD)的求解思路如下:
(1)将J(theta)对theta求偏导,得到每个theta对应的的梯度![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_BR2s.jpg)
(2)由于是要最小化风险函数,所以按每个参数theta的梯度负方向,来更新每个theta
![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_yY10.jpg)
(3)从上面公式可以注意到,它得到的是一个全局最优解,但是每迭代一步,都要用到训练集所有的数据,如果m很大,那么可想而知这种方法的迭代速度!!所以,这就引入了另外一种方法,随机梯度下降。
2、随机梯度下降(SGD)的求解思路如下:
(1)上面的风险函数可以写成如下这种形式,损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度,而上面批量梯度下降对应的是所有的训练样本:![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_fQQT.jpg)
注意:cost不是cosine t 是costfunction的简写
(2)每个样本的损失函数,对theta求偏导得到对应梯度,来更新theta
![](http://static.oschina.net/uploads/img/201509/23142714_9C3c.jpg)
(3)随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况(例如几十万),那么可能只用其中几万条或者几千条的样本(每次迭代随机选取一个样本点,只是迭代次数比BGD要多),就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是,SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。对步长选择敏感,可能会出现overshoot
the minimum。
3、方法比较:
梯度下降法是批量更新算法,随机梯度是在线算法梯度法优化的是经验风险,随机梯度法优化的是泛化风险
梯度法可能陷入局部最优,随机梯度可能找到全局最优
梯度法对步长不敏感,随机梯度对步长选择敏感
梯度法对初始点(参数)选择敏感
4、对于上面的linear regression问题,与批量梯度下降对比,随机梯度下降求解的会是最优解吗?
(1)批量梯度下降---最小化所有训练样本的损失函数,使得最终求解的是全局的最优解,即求解的参数是使得风险函数最小。(2)随机梯度下降---最小化每条样本的损失函数,虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向, 但是大的整体的方向是向全局最优解的,最终的结果往往是在全局最优解附近。(数学证明过程)
5、梯度下降用来求最优解,哪些问题可以求得全局最优?哪些问题可能局部最优解?
最优化问题对theta的分布是unimodal,即从图形上面看只有一个peak,所以梯度下降最终求得的是全局最优解。然而对于multimodal的问题,因为存在多个peak值,很有可能梯度下降的最终结果是局部最优。参考资料:
1. http://blog.csdn.net/lilyth_lilyth/article/details/89739722. http://enjoyhot.top/2015/01/18/machinelearning-linear-regression/
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