【自用】线段树 区间最小值

参考

http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3453089.html

概述

是一种平衡二叉树，在每个节点保存一条线段（一个数组区间），主要用于高效解决连续区间的动态查询，基本能保持每个操作的复杂度为O（logn）。

例子

问题描述：从数组arr[0…n-1]中查找某个区间内的最小值，其中数组大小固定，但是数组中的元素的值随时可以更新。




最简单的解法：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度O（n），额外空间复杂度O（1）存储临时min变量，但当数据很多，查询操作频繁时，可能超时。

快一点的解法：使用二维数组保存提前计算好的区间[i, j]内的最小值，预处理时间为O(n2)O(n^2)，查询耗时O（1），但是需要额外的O(n2)O(n^2)空间，当数据量很大时，空间消耗庞大，而且改变了数据中的某一个值时，更新二维数组中的最小值也很麻烦。



用线段树的解法：预处理耗时O（n），查询、更新操作O（logn），需要额外的空间O（n）。根据这个问题构造如下的二叉树：

叶子节点是原始数组arr中的元素

非叶子结点代表它的所有孩子节点构成区间的最小值




例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（黑线条为叶子节点，蓝线条为非叶子节点，为对应数组区间的最小值）例如根节点表示数组区间arr[0…5]内的最小值是1：




对于包含n个叶子节点的平衡二叉树，有n-1个非叶子结点，因此一共有2n-1个节点，因此存储线段需要的空间复杂度是O（n）。