动态规划_求连续整数的划分方案总数

题目:

对于从1到N的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。

举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：

{3}and {1,2}

这是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）

如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:

{1,6,7} and {2,3,4,5} {注 1+6+7=2+3+4+5}

{2,5,7} and {1,3,4,6}

{3,4,7} and {1,2,5,6}

{1,2,4,7} and {3,5,6}

给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。程序不能预存结果直接输出。

从动态规划角度看:

从1...M把每个整数都当做一个阶段，每个阶段都有3种决策:

1)无法组成集合,集合规划种类的数量为0

2)本整数不参与集合，进入下一个阶段，由下一阶段返回集合规划种类的数量

3)本整数参与集合, 进入下一个阶段，由下一阶段返回集合规划种类的数量

最后把上面三种决策得到集合规划总数量返回给上一阶段

解法:

假设函数F为计算划分方法的总数量，N为当前整数，S为当前集合的和,最大整数为M, 则有

F(N, S) = F(N+1, S) + F(N+1, S-N)

F(N, S) = 0 | 当N>S

F(N, S) = 0 | 当N>M

F(N, S) = 1 | 当N=S

C++的实现

使用递归函数计算出总和再除于2就是总的划分方案的数量

代码如下:

// Dyn_01.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"

static unsigned int N_Static;

unsigned long long F(unsigned int N, unsigned long long S)
{
if (N > N_Static || N > S)
{
return 0;
}
else if (N == S)
{
return 1;
}
else
{
return F(N + 1, S) + F(N + 1, S - N);
}
}

unsigned long long Cal(unsigned int N)
{
if (N == 0)
{
return 0;
}

unsigned long long Sum = N * (N + 1) / 4;
if (Sum % 4 > 0)
{
return 0;
}
Sum /= 4;

N_Static = N;
return F(1, Sum) / 2;

}

int main()
{
unsigned long long Temp;
Temp = Cal(3);
Temp = Cal(7);
return 0;
}