高数公式

第六章 定积分及其应用

按：这些公式的内容都来源于《高等数学》（国防科大朱建民李建平版）

定积分基本性质1 线性性

设函数f(x)f(x), g(x)g(x)在[a,b][a,b]上都可积，则对任意实数α\alpha和β\beta, 函数αf(x)+βg(x)\alpha{f(x)} + \beta{g(x)}在[a,b][a,b]上也可积，且有∫ba[αf(x)+βg(x)]dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx\int_{a}^{b}{[\alpha{f(x)}+\beta{g(x)}]}\mathrm{d}x = \alpha{\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x} + \beta{\int_{a}^{b}{g(x)}\mathrm{d}x}

定积分基本性质2 对积分区间的可加性

设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上可积，且a<c<ba，则f(x)f(x)在区间[a,c][a,c]和[c,b][c,b]上都可积；反之亦真，并且有

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x = \int_{a}^{c}{f(x)}\mathrm{d}x + \int_{c}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x

定积分基本性质3 保号性

(1) 设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上可积，且f(x)⩾0f(x)\geqslant{0}，则∫baf(x)dx⩾0\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x\geqslant{0}

(2) 设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续非负，且不恒为0，则∫baf(x)dx>0\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x>{0}

推论一 保序性

设函数f(x)f(x), g(x)g(x)在区间[a,b][a,b]上都可积，并且f(x)⩽g(x)f(x)\leqslant{g(x)}，则∫baf(x)dx⩽∫bag(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x \leqslant \int_{a}^{b}{g(x)}\mathrm{d}x

推论二 定积分绝对不等式

设函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上可积，那么设函数∣f(x)∣\mid{f(x)}\mid在区间[a,b][a,b]上也可积，并且∣∫baf(x)dx∣⩽∫ba∣g(x)∣dx\mid{\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d}x}\mid \leqslant \int_{a}^{b}{\mid g(x) \mid}\mathrm{d}x

定理6.1.2 定积分中值定理

如果函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a, b]上连续，则在积分区间[a,b][a, b]上至少有一个点ξ\xi，使下式成立：

∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_{a}^{b}{f(x)}\mathrm{d} x = f(\xi)(b-a)

刚开始用LATEX\LaTeX，好累！下次继续。。。