bzoj1857 传送带 三分

很早看到的三分法，竟然在今天用到了（显然已我的智商是想不到的）。然而发现自己并不会证明o(╯□╰)o，但是除了最关键的一步其它还是会的>_<。

首先，我们用三分法，最基本的是要证明那个人一定是沿着如下路径走的：从A沿着AB走一段，再穿越到CD上某一点，最后到终点。证明如下：不妨假设p>q>r，因为当r>max(p,q)时没什么好讨论的，而p,q的大小没什么关系。那么假设这人从AB上一点X离开，那么如果它不沿着刚刚的路径，则它一定会沿着某个路径回到AB上一点Y，显然X->Y的最快方法是沿着AB走，因为这样距离最短而速度最快。证完。

那么，如果我们假设它从AB上一点X出发到CD上一点Y再到终点，那么当X为定点时，时间与CY长度是成单峰函数的，证明如下：



当s>=q时，显然时间随着CY的增大而减小，显然是单峰函数，因此不妨设s<q。过点X作XH⊥CD，显然当Y在CH上时时间增大，不做讨论。当Y在HD上时，设XH=h，HY=t，那么Y点比D点的时间节约（当Y点比D点时间长时该式为负号）：t/q-(sqrt(t^2+h^2)-h)/s=t/q+h/s-sqrt(t^2+h^2)/s，显然sqrt(t^2+h^2)增长是没有t的增长快的，因此一开始该式为正数，时间减少；但是当t增大时，sqrt(t^2+h^2)的增大速度不断变快最终趋向于t的增大速度，不要忘了q>s，所以该式最终会变为负数并且一定会越变越小，时间不断增大。综上所述：时间先单调递减再单调递增，证完。

然而我并不会证明从AB上一点X离开的最优时间，这个函数与AX成单峰函数关系。。。算了先挖个坑，谁会请告诉我>_<。AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define eps 1e-3
using namespace std;

int ax,bx,cx,dx,ay,by,cy,dy,p,q,r;
double dist(double x1,double y1,double x2,double y2){
return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
double solve(double u,double v){
double lx=cx,ly=cy,rx=dx,ry=dy,x1,x2,y1,y2,t1,t2;
while (abs(lx-rx)>eps || abs(ly-ry)>eps){
x1=(lx+lx+rx)/3; x2=(x1+rx)/2; y1=(ly+ly+ry)/3; y2=(y1+ry)/2;
t1=dist(x1,y1,dx,dy)/q+dist(x1,y1,u,v)/r;
t2=dist(x2,y2,dx,dy)/q+dist(x2,y2,u,v)/r;
if (t1<t2){ rx=x2; ry=y2; } else{ lx=x1; ly=y1; }
}
return dist(ax,ay,u,v)/p+dist(lx,ly,dx,dy)/q+dist(lx,ly,u,v)/r;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d",&ax,&ay,&bx,&by,&cx,&cy,&dx,&dy);
scanf("%d%d%d",&p,&q,&r);
double lx=ax,ly=ay,rx=bx,ry=by,x1,x2,y1,y2;
while (abs(lx-rx)>eps || abs(ly-ry)>eps){
x1=(lx+lx+rx)/3; x2=(x1+rx)/2; y1=(ly+ly+ry)/3; y2=(y1+ry)/2;
if (solve(x1,y1)<solve(x2,y2)){ rx=x2; ry=y2; } else{ lx=x1; ly=y1; }
}
printf("%.2f\n",solve(lx,ly));
return 0;
}

by lych

2016.1.5