POJ 2154 Color（polya）

Description

用n种颜色给一个有n个珠子的项链染色，旋转和翻转相同看作同一方案，问一共有多少种不同的方案，结果模p

Input

第一行为一整数T表示用例组数，每组用例占一行为两个整数n和p

(T<=3500，1<=n<=10^9, 1<=p<=30000)

Output

对于每组用例，输出方案数%p

Sample Input

5

1 30000

2 30000

3 30000

4 30000

5 30000

Sample Output

1

3

11

70

629

Solution

polya，先考虑旋转，有n种置换，旋转k个元素后循环节即轮换数为gcd(k,n)，故方案数为

，然后是翻转，对称轴显然为直径，当n为偶数时有两种对称轴，一种过两点，另一种过两个中点，第一种对称轴有n/2个，翻转180度的轮换数为n/2+1，第二种对称轴也有n/2个，翻转180度的轮换数为n/2，方案数为n/2*n^(n/2)+n/2*n^(n/2+1)；当n为奇数时对称轴只有一种，即过一点以及一个中点，共n个，翻转180度的轮换数为n/2，方案数为n*n^(n/2)，所以翻转也有n种置换，总置换数为2*n。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 55555
int prime[maxn],is_prime[maxn],res;
void get_prime(int n)
{
res=0;
memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
for(int i=2;i<n;i++)
if(!is_prime[i])
{
prime[res++]=i;
for(int j=i;j<n;j+=i)
is_prime[j]=1;
}
}
int mod_pow(int a,int b,int p)
{
int ans=1;
a%=p;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans*a)%p;
a=(a*a)%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
int get_euler(int n)
{
int ans=n;
for(int i=0;i<res&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
if(n%prime[i]==0)
{
ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);
while(n%prime[i]==0)
n/=prime[i];
}
if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
int main()
{
get_prime(maxn);
int T,n,p;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&p);
int ans=0;
for(int i=1;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
if(i*i!=n)
ans=(ans+get_euler(i)%p*mod_pow(n,n/i-1,p)%p+get_euler(n/i)%p*mod_pow(n,i-1,p)%p)%p;
else
ans=(ans+get_euler(i)%p*mod_pow(n,n/i-1,p)%p)%p;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}