统计题5

可汗统计课56

We're trying to test whether a new, low-fat diet actually helps obese people lose weight. 100 randomly assigned obese people are assigned to group 1 and put on low fat diet. Another 100 ramdomly assigned obese people are assigned to group 2 and put on a diet of appromximately the same amount of food, but not as low in fat. After 4 months, the mean weight loss was 9.31 lbs. for group 1(s=4.67) and 7.40 lbs.(s=4.04) for group 2.

分析：

以样本估测整体，两个对照组，求样本均值之差的抽样分布的概率。

中心极限定理，low fat和非low fat的样本均值的抽样分布都是正态分布。

均值之差的抽样分布也是正态分布，参数要计算一下。

设一个95%的置信区间，对应z table为1.96个标准差。

$\overline{X_1}=9.31 \quad S_1=4.67$

$\overline{X_2}=7.4 \quad S_1=4.04$

$\overline{X_1}-\overline{X_2}=1.91$

总体两种情况的均值之差未知，为$\mu$，等于样本均值之差的抽样分布的$\mu$。总体方差近似分别为S1和S2，样本均值之差的抽样分布的方差为$\sigma^2=\sigma_\overline{x_1}^2+\sigma_\overline{x_2}^2≈\frac{S_1^2}{100}+\frac{S_2^2}{100}$

1.91为均值之差的抽样分布的一个样本，不超过μ左右1.96个标准差的概率为95%，即μ距1.91距离为1.96个标准差的概率为95%

样本均值之差的抽样分布的标准差：σ=0.617,1.96σ=1.21

μ距1.91为1.21，即μ在[0.7,3.12]的概率为95%

这既代表了样本均值之差的抽样分布的均值的概率，也是总体均值之差的概率。下限为0.7，仍然是大于0的，low diet是有效的。