DP 动态规划Dynamic programming

DP

（DP（动态规划Dynamic programming））

动态规划（dynamic programming）背后的思想非常简单：通常为了解决一个问题，我们需要把它分解成很多类似的但更小的子问题，然后解决这些子问题，最终把这些子问题结果联系起来就解决了原先的那个问题。但是在上面这个过程中，如果使用的是比较“原始”的方法，它会碰到多次产生相同的子问题（比如子问题的子问题重复），多次重复解决这些其实已经被解决过一遍的子问题，从而造成计算机性能和时间上的浪费，动态规划（DP）就是一种保证让每个子问题只被解决一次，而不被重复解决的方法，减少重复计算——它把每次计算子问题的结果都保存起来，下次要计算这个子问题时就先查看这个子问题是否已经被保存（已经被解决过一遍），是则直接返回这个被保存的结果，否则解决这个子问题，然后保存和返回结果。

DP(动态规划)的特点是重复子问题（子问题会经常出现大量重复）和最优解结构（每个子问题的解都保证最优）。由于“分治”算法 和快速排序算法 都 没有重复子问题特点所以不属于动态规划；由于"贪心"算法无法保证最优解结构特点，故也不是动态规划。

有2种实现动态规划的方法：

（1）Top-down:在递归中使用一个table记录每个子问题的解决结果，每次开始时先查询table，若已经有这个子问题的记录则直接返回这个结果。

（2）Bottom-up:我们其实可以在方法（1）Top-down的基础上更进一步精炼，不从大问题到小问题递归然后从小问题递归返回大问题，而是直接先解决所有最小的A类问题，利用这些结果解决所有比最小的A类问题大一级的B类问题，利用这些结果解决所有比B类问题大一级的C类问题......依次类推直到解决我们当前碰到的大问题。

第（2）中方法可以使用Bellman equation（在控制理论中经常用到的方程式）来提炼。