数字信号处理笔记

-离散傅里叶变换的性质

- 公式一：

X(ejw)=∑r=+∞r=−∞2πδ(w−w0+2πr)−→−F−1∑+∞−∞ejw0n

∑+∞−∞ejw0n−→F∑+∞−∞ejw0ne−jwn=∑r=+∞r=−∞2πδ(w−w0+2πr)

∑+∞−∞ejw0n−→F∑r=+∞r=−∞2πδ(w−w0+2πr)

1−→F∑r=+∞r=−∞2πδ(w+2πr)

x[n]=∑kakejwcn−∞<n<+∞

x[n]−→F∑+∞−∞akejwcne−jwn=∑+∞−∞∑k2πakδ(w−wc+2πr)

既不平方可加也不平方可和的单位阶跃序列u(n)的傅里叶变换

U(ejw)=11−e−jw+∑r=+∞r=−∞πδ(w+2πr)

傅里叶变换的性质

序列	傅里叶变换
x[n],y[n]	X(ejw),Y(ejw)
x[n−nd](nd为整数)	X(ejw)e−jwnd
ejw0nx[n]	X(ej(w−w0))
x[−n]	X(e−jw)
nx[n]	jX(ejw)dw
x[n]∗y[n]	X(ejw)Y(ejw)
x[n]y[n]	12π∫+∞−∞X(ejθ)Y(ej(w−θ))dθ
u[n]	11−e−jw+∑+∞k=−∞πδ(w+2πk)
(n+1)anu[n](|a|<1)	1(1−ae−jw)2
rnsin(wp(n+1))u[n]sinwp(|r|<1)	1(1−ae−jw)2
sin(wcn)πn	X(ejw)=1,|w|<wc
x[n]=1,0≤n≤M	sin[w(M+1)]2sinw2e−jwM2
cos(won+θ)	∑+∞k=−∞πekθδ(w−w0+2πk)+πe−jθδ(w−w0+2πk)
ejw0n	∑k=+∞k=−∞2πδ(w−w0+2πk)
帕斯瓦尔定理∑+∞−∞|x[n]|2	12π∫π−π|X(ejw)|2dw
帕斯瓦尔定理∑+∞−∞x[n]y∗[n]	12π∫π−πX(e(jw))Y∗(ejw)dw

输入和输出的互相关是单位脉冲响应与输入自相关序列的卷积

ϕyx[m]=ε{x[n]y[n+m]}=ε{x[n]∑k=−∞k=+∞h[k]x[n+m−k]}=∑k=−∞+∞h[k]ϕxx[m−k]

当输入为白噪声时ϕxx[m]=σ2xh[m]也就是说，对于一个零均值的报噪声输入，一个线性系统输入和输出之间的互相关正比于该系统的单位脉冲响应。类似的，白噪声输入的功率谱为Φxx(ejw)=σ2x−π≤w≤πΦyx(ejw)=σ2xH(ejw)也就是说，在这种强狂下互功率谱正比于该系统的频率响应。如果能观察到一个输入为白噪声时系统的输出，那么就可以根据上式估计一个线性时不变系统的单位脉冲响应或频率响应的基础。

理想采样的频谱：

fs(t)=Σ∞n=−∞f(t)δ(t−nTs)=f(t)Σ∞n=−∞δ(t−nTs）其中Σ∞n=−∞δ(t−nTs）是周期为Ts的周期函数。

Σ∞n=−∞δ(t−nTs)−→−−−−傅里叶级数Σ∞n=−∞Fnejnwst

Fn=1T∫T/2−T/2δ(t)e−jnwtdt=1T

由傅里叶变换的性质

F(w−w0)−→−−−ifourier12π∫∞w=−∞F(w−w0)ejwtdw=F(w−w0)−→−−−ifourier12π∫∞w=−∞F(w−w0)ej(w−w0)te−jw0tdw→f(t)e−jw0t

Σ∞n=−∞ejnwst−→FΣ∞n=−∞2πδ(w−nws)

f(t)−→FF(w)

f(t)⋅Σ∞n=−∞ejnwst−→F12πF(w)∗Σ∞n=−∞2πδ(w−nws)1T=1TΣ∞n=−∞F(w−ws)

采样信号fs(t)−→F1TΣ∞n=−∞F(w−ws)