平方和级数求和

证明函数的∑i=ni=0i2=n(2n+1)(n+1)6

用差分方程解释：

y(n)−y(n−1)=n2<
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span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.827em;">

y(n−1)−y(n−2)=(n−1)2

y(n−2)−y(n−3)=(n−2)2

….

y(3)−y(2)=32

y(2)−y(1)=22

y(n)−y(n−1)+y(n−1)−y(n−2)+y(n−2)−y(n−3)+…+y(3)−y(2)+y(2)−y(1)=y(n)−y(1)=22+32+42+…+n2→y(n)=∑i=ni=1i2

所以只要求解出差分方程的解即可得到所求的平方和，如下求解

y(n)−y(n−1)=n2

两边进行Z变换→Y(Z)(1−Z−1)=2(Z−1)3→Y(Z)=2Z(Z−1)4

留数法求解多重极点的Z反变换：

Y(Z)=Z2(Z−1)(Z−1)4→Y(Z)=[Z2(Z−1)(Z−1)4(Z−1)4Zn−1]′′′/3!=(Z2(Z−1))′′′3!=n(2n+1)(n+1)6

在这里将u(n)省去了以便方程看的更清楚，从而忽略变换。