计量经济学复习笔记（五） Updated

最小二乘法的估算量的期望值

这里是要证明我们所估计的β^1是β1的无偏估计量

我们就对β^1求期望

首先我们要明白离差的定义x¨i=(xi−x¯)

那么我们将一般线性回归方程的β^1可改写成

β^1=∑y¨ix¨i∑x¨2i

那么我们将一下方程代入：

y¨i=β1x¨i+u¨i

所以我们可以将前式化为：β^1=β1+∑x¨iu¨i∑x¨2i

那么我们就有：

E(β^1)=β1

所以β^1是β1的无偏估计量

然后是OLS的方差

OLS的方差我们要先根据方差的定义

Var(β^1)=E(β^1−E(β^1))2=E(∑x¨iu¨i∑x¨2i2)=E(∑x¨iui∑x¨2i)2

在这里我们无法推断其方差了，所以要做如下假设：

1. 同方差假设，就是说干扰项和自变量相互独立，所以其方差不受自变量影响

E(u2|x)=E(u2)=σ2(教案上那个是期望 是等于0的，应该错了)

所以方差固定

2. 干扰项随机抽样，两两干扰项之间相互独立

E(uiuj)=EuiEuj=0

所以在上述两个假定之下

我们就有Var(β^1)=E⎛⎝∑(x¨iui)2+2∑∑i≠jx¨ix¨juiuj(∑x¨2i)2⎞⎠

因为x和u独立，两两u之间也独立所以我们将式子可以化为：

Var(β^1)=σ2(∑x¨2i)2(教案上又错了 -_-)

我们就有Var(β^1)=E⎛⎝∑(x¨iui)2+2∑∑i≠jx¨ix¨juiuj(∑x¨2i)2⎞⎠

因为x和u独立，两两u之间也独立所以我们将式子可以化为：

Var(β^1)=σ2(∑x¨2i)2(教案上又错了 -_-)

然后对于Var(β^0)=σ2∑x2in∑x¨2i

这个证明过程就是先将

β^0=β0+(β1−β^1)x¯+u¯

然后考虑β1−β^1=−∑x¨iui∑x¨2i

之后求其β^0−β0的二阶矩的期望

其中要注意一个细节∑x2in∑x¨2i=1n+X¯2∑x2i

最后是对无偏估算量的计算

有

E(∑u^2i)=(n−2)σ2

所以我们估算误差值的方差σ2时我们使用σ^2=∑u^2in−2=RSSn−2

所以我们求前两个估算量的方差及标准差时，我们用σ^2来代替则有

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Se(β^1)=σ^2∑x¨2i−−−−−√Se(β^0)=σ^2∑x2in∑x¨2i−−−−−−−√Se(u^i)=(n−2)σ^2

最后的最后 是高斯——马尔科夫假设条件

1.回归模型有参数线性

2.样本来自总体的随机抽样

3.解释变量即自变量必须要有所变化！废话容易忘！

4.随机干扰项期望为零且要与自变量即解释变量独立！

5.同方差性，就是方差是固定的，怎么都不变，就是方差也是独立的

6.干扰项之间也要独立，

就是说每一次观测的干扰项除了跟自己相关外，都是独立的！！

END。