计量经济学复习笔记(五) Updated
2015-12-30 18:44
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最小二乘法的估算量的期望值
这里是要证明我们所估计的β^1是β1的无偏估计量我们就对β^1求期望
首先我们要明白离差的定义x¨i=(xi−x¯)
那么我们将一般线性回归方程的β^1可改写成
β^1=∑y¨ix¨i∑x¨2i
那么我们将一下方程代入:
y¨i=β1x¨i+u¨i
所以我们可以将前式化为:β^1=β1+∑x¨iu¨i∑x¨2i
那么我们就有:
E(β^1)=β1
所以β^1是β1的无偏估计量
然后是OLS的方差
OLS的方差我们要先根据方差的定义
Var(β^1)=E(β^1−E(β^1))2=E(∑x¨iu¨i∑x¨2i2)=E(∑x¨iui∑x¨2i)2
在这里我们无法推断其方差了,所以要做如下假设:
1. 同方差假设,就是说干扰项和自变量相互独立,所以其方差不受自变量影响
E(u2|x)=E(u2)=σ2(教案上那个是期望 是等于0的,应该错了)
所以方差固定
2. 干扰项随机抽样,两两干扰项之间相互独立
E(uiuj)=EuiEuj=0
所以在上述两个假定之下
我们就有Var(β^1)=E⎛⎝∑(x¨iui)2+2∑∑i≠jx¨ix¨juiuj(∑x¨2i)2⎞⎠
因为x和u独立,两两u之间也独立所以我们将式子可以化为:
Var(β^1)=σ2(∑x¨2i)2(教案上又错了 -_-)
我们就有Var(β^1)=E⎛⎝∑(x¨iui)2+2∑∑i≠jx¨ix¨juiuj(∑x¨2i)2⎞⎠
因为x和u独立,两两u之间也独立所以我们将式子可以化为:
Var(β^1)=σ2(∑x¨2i)2(教案上又错了 -_-)
然后对于Var(β^0)=σ2∑x2in∑x¨2i
这个证明过程就是先将
β^0=β0+(β1−β^1)x¯+u¯
然后考虑β1−β^1=−∑x¨iui∑x¨2i
之后求其β^0−β0的二阶矩的期望
其中要注意一个细节∑x2in∑x¨2i=1n+X¯2∑x2i
最后是对无偏估算量的计算
有
E(∑u^2i)=(n−2)σ2
所以我们估算误差值的方差σ2时我们使用σ^2=∑u^2in−2=RSSn−2
所以我们求前两个估算量的方差及标准差时,我们用σ^2来代替则有
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Se(β^1)=σ^2∑x¨2i−−−−−√Se(β^0)=σ^2∑x2in∑x¨2i−−−−−−−√Se(u^i)=(n−2)σ^2
最后的最后 是高斯——马尔科夫假设条件
1.回归模型有参数线性2.样本来自总体的随机抽样
3.解释变量即自变量必须要有所变化!废话容易忘!
4.随机干扰项期望为零且要与自变量即解释变量独立!
5.同方差性,就是方差是固定的,怎么都不变,就是方差也是独立的
6.干扰项之间也要独立,
就是说每一次观测的干扰项除了跟自己相关外,都是独立的!!
END。
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