FFT变换中的频谱泄露问题研究

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以下内容为个人理解，如有出入，还望一同探讨。

核心基本原理：

1. 卷积定理：

时域信号的乘积，映射为频域信号的卷积；频域信号的乘积，映射为时域信号的卷积

2. 基本概念：

离散傅里叶变换( DFT & FFT)为离散信号的傅里叶变换( FT )在k*2π/N频率处的采样

频谱泄露的最根本原因还在于信号的非周期截断，可以从时域和频域两方面来理解：

(1) 从时域上，傅里叶变换的潜在假设为待处理的有限信号为周期性无限信号的周期主体，即假设原始信号为当前有限信号的无限个周期延拓。因此，举个简单例子。我们截取50HZ 正弦信号的一个周期，其无限延拓就是最原始的50HZ正弦信号，因此一个周期的有限信号即可代表其原始的无限信号；若截取的有限信号不是50HZ信号的整数倍周期，可知该有限信号的无限延拓不可完全的复原原始的50HZ无限信号，其首尾连接处出现断续，从而引入高次谐波分量，产生频谱泄露。

(2)从频域上，假设信号周期T，频率F， 采样周期Ts，采样频率Fs， 采样点数N，则整数周期截断的物理表达为N*Ts = m*T <=> N*1/Fs=m*1/F <=> F=m*Fs/N. 在频域上，Fs对应2π，且频域分辨率为2π/N。 因此F=m*Fs/N意义为信号频率在FFT后的第m根谱线上。反之，当非周期截断时，则无法满足F=m*Fs/N，信号的频率成分分散k*2π/N的频率点上

深入研究：

有限长时域信号，可视作无限长原始信号与矩形窗的乘积。根据卷积定理，时域乘积映射为频域的卷积。矩形窗的傅里叶变换为sinc函数，且主瓣宽度为2/NTs=2*Fs/N, 旁瓣宽度为1/NTs = Fs/N. sinc函数与原始信号的傅里叶变换卷积后，sinc将搬移原始信号的频率为中心频率。卷积完成后，再以k*2π/N对卷积谱结果进行采样。有以上知识点可知，当满足周期截断时，即F=m*Fs/N，此时除了sinc的中心频率外，其它采样点均采到sinc的零点处，因此最终的信号将只含有sinc的中心频率即原始信号的频率；当不满足F=m*Fs/N时，因为此时sinc的中心点在F位置处，因此以k*2π/N采样时将采到sinc的非零点位置，因此最终的频域中将含有除原始频率成分外的其他频率，即发生频谱泄露。

由于工程实际处理的信号基本为非平稳多谐波信号，因此频谱泄露不可避免。为了改善频谱泄露，可行的方向包含以下几点：

1. 增大FFT变换的点数N。 通过增大N，一方面提高频域分辨率，更大可能满足F=m*Fs/N， 另一方面，压缩sinc的瓣宽，降低泄露水平。

2. 选用合适的窗函数。根据不同的需求来选择不同特性的窗函数，主瓣宽但旁瓣衰减大的窗或是主瓣窄但旁瓣相对衰减小的窗。