奇异值分解SVD的理解与应用

本文内容是基于作者当前对奇异值分解svd的了解，不够全面，有不妥的地方还望各位读者指出。作者也会在进一步了解svd的过程中，不断更新本文。

为更好的理解这篇文章，现在这里列出几个文中出现的概念，想要更深的理解这些概念，可以看我的另一篇文章：关于特征值的理解。

向量的内积：两向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn],其内积为 a⋅b=a1b1+a2b2+……+anbn。

特征值与特征向量：对一个m×m矩阵A和向量x，如果存在λ使得下式成立，Ax＝λx，则称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵的特征向量。

对角矩阵：对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵。

正交矩阵：正交是一个方块矩阵V，行与列皆为正交的单位向量，即Vn×nVTn×n＝I<
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/span>n，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵，VT＝V−1。

直接进入正题，矩阵当中有一个非常著名的理论，即：

一个n×n的对称矩阵A可以分解为：A=VDVT。其中，V是一个n×n正交矩阵，并且列向量是矩阵A的特征向量；D是一个n×n对角矩阵，并且对角线上的值为对应特征向量的特征值。

上面的理论是针对一个n×n的对称矩阵，那么对于任意的一个m×n的矩阵A，有没有类似的表达方法呢。答案是肯定的，svd正是用来解决这个问题的。

对任意一个m×n的矩阵A，可以将其分解为：A＝USVT。其中U是一个m×m的正交矩阵；S是一个m×n的矩阵，其主对角元素≥0，非主对角元素均为0；V是一个n×n的正交矩阵。

当m>n时	当m<n时
S=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢σ100⋮00σ20⋮000σ3⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥	S=⎡⎣⎢σ1000σ2000σ3⋯⋯⋯000⎤⎦⎥

关于svd的证明过程，似乎更多是数值上的工作，本文想给出更多intuitive上的理解。想要了解证明的可以参考这篇论文：Kalman D. A singularly valuable decomposition: the SVD of a matrix。

这样，对任意一个矩阵，我都可以分解成三个矩阵的内积。让我们看一下它有什么神奇的性质。

AAT＝USVTVSTUT＝USSTUT＝UDUT(1)

由于V是一个正交矩阵，VT＝V−1，所以VT＊V＝I。S只有主对角元素不为0，那么SST的结果为一个m×m的对角矩阵D。而虽然A是任意的一个m×n的矩阵，但AAT是一个m×m的对称矩阵。这样一看，AAT=UDUT是不是和前面那个理论非常相似。那么U的列向量应该是对称矩阵AAT的特征向量，D应该是一个对角矩阵，且对角线上值是对称矩阵AAT的特征值。

ATA＝VSTUTUSVT＝VSTSVT＝VWVT(2)

同样，V的列向量则是对称矩阵ATA的特征向量,而W则是一个n×nDm×m=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢σ2100⋮00⋱0⋮000σ2k⋮0⋯⋯⋯⋱000000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥可以看出，矩阵S主对角线上的值，实际上是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根。

所以，实际上svd是一个矩阵分解方法，对于任意一个m×n的矩阵A，svd都可以将其分解成为A＝USVT。其中矩阵U的列向量是对称矩阵AAT的特征向量，称作左奇异矩阵；矩阵V的的列向量是对称矩阵ATA的特征向量；S是一个m×n的矩阵，主对角线上的值是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根，称作奇异值，且非对角线上的值为0.

不知道写到这里，大家是不是对svd有了一个比较具体的印象。然而，上面只是从数学上解释了svd的构成，我们好奇的是，从很多地方，我们都听到了svd，即使如上面所述，它长的是这个样子，但是我们它到底可以用来做什么事情呢？

下面我们举几个svd的实际应用，加深我们对它的理解。

1）有损的数据压缩

假设我们有一个m×n的矩阵A，它表示一组数据，有n个样本，每个样本的维度为m，它包含了一定的信息。而通过svd，我们可以对矩阵A进行分解：A＝USVT。将矩阵展开，可以表示为A＝σ1u1vT1＋σ2u2vT2＋…＋σkukvTk，是k个部分的组合，k为矩阵S当中，对角线上不为0的个数。可以认为，每一个部分包含了原数据的部分信息，合在一起组成了整个数据。

Um×m=⎡⎣⎢⎢⎢⎢u11u12⋮u1mu21u22⋮u2m⋯⋯⋮⋯um1um2⋮umm⎤⎦⎥⎥⎥⎥,ui=[ui1,ui2,...,uim]T

Sm×n=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢σ100⋮00⋱0⋮000σk⋮0⋯⋯⋯⋱000000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Un×n=⎡⎣⎢⎢⎢⎢v11v12⋮v1nv21v22⋮v2n⋯⋯⋮⋯vn1vn2⋮vnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥,vi=[vi1,vi2,...,vin]T

关于S还有一个特性，它是按照σ值的大小，从大到小排列的，即σ1>σ2>...>σk。U和V都是正交矩阵，u1，um和v1，vn都是长度为1的单位向量，并且两两之间不相关，即uiuj=0,i≠j。所以，可以看作，每一个部分包含信息的多少，全由σi的大小决定。

举个例子:

Sm×n＝⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢900⋮0080⋮0003⋮0⋯⋯⋯⋱000000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

前两维，A′=σ1u1vT1＋σ2u2vT2，可以包含9+89+8+3=85%的信息。而存储原来的数据，我们需要存储m＊n个数字，现在我们仅仅需要存储u1，u2，v1，v2以及σ1和σ2，一共2m＋2n＋2个数字。这就是svd数据压缩的基本思想。

有一个例子解释的非常清晰，感兴趣的话，大家可以看一下这篇博客：奇异值分解和图像压缩

2）主成分分析法（PCA）

在前面一篇博客，PCA详解，中提到，我们一般使用svd来对PCA进行求解。由于在前面的博客中，已经详细介绍过PCA，这里我们假设大家对PCA都非常了解。PCA的核心思想就是，对一个m×n的矩阵A，即有n个样本、每个样本有m个维度，我们要找到一个m×m的矩阵U，对原矩阵A进行转换，是的转换后的矩阵UA，其协方差矩阵∑=UA(UA)T＝UAATUT，是一个对角矩阵。

我们知道AAT是一个对称矩阵，根绝前面提到过的理论，AAT可以分解为：AAT＝UDUT，那么UAATUT＝D，正好是一个对角矩阵。而根据svd，我们知道A可以分解为：A＝USVT，且左奇异矩阵U的列向量，正好是对称矩阵AAT的特征向量。

因而，如果得到了矩阵A的奇异值分解矩阵，我们就得到了一个m×m的矩阵U，这个矩阵就是PCA的转换矩阵U。

另外，还有用svd做推荐算法的，但是其实质上并不是用svd来求解，只是用到了矩阵分解的思想，这里就不详细介绍了，感兴趣的可以去了解一下。

希望本文能对你理解svd有所帮助，感谢阅读。