数据结构和算法经典100题-第28题

题目要求:{1,2,3…N}表示一棵二叉树中序遍历结果，

1.求有多少种可能的二叉树结构？

2.返回所有可能的二叉树结构的头结点？

题目解析：

1.一个关键点是：中序遍历一棵二叉树结果有序无重复，那么这棵二叉树必然是搜索二叉树。根据搜索二叉树的性质，结点1一定没有左子树，所以结点1为头结点可能的二叉树结构数目取决于其右子树的结点数目。假设num(x)表示x个节点可能的二叉树结构数目，那么以1为头结点的二叉树结构数目就是num(N-1)；现在以任意节点i为头结点的可能二叉树结构的个数取决于其左子树和右子树的可能数的乘积，即num(i-1)*num(N-i),Okay,说到这里第一个问题已经可以解决了，递归加动态规划降低时间复杂度解决此问题。

下面看一下代码，No code say what:

// 问题1
int numTree(int n) {
vector<int> num;
num[0] = 1;

// 时间复杂度O(N^2)
for (int i = 1; i < n + 1; ++i) {
for (int j = 1; j < i + 1; ++j) {
num[i] += num[j - 1] * num[i -j];
}
}

return num
;
}

2.第二个问题与第一个问题类似，但要比第一个问题复杂一些。现在要返回所有可能的二叉树结构的头结点，那么就要把每一种可能的二叉树结构构造出来。现在假设用结点i是头结点，把左子树所有可能的头结点存在listLeft中，把所有可能的右子树可能的头结点存储在rightLeft中，那么所有的左子树头结点和右子树头结点组合就能产生出一种可能的二叉树结构，把所有的可能结果存储在listRes中，返回即可。

首先定义二叉树结点结构，和一个拷贝结点方法，该拷贝方法可以拷贝整棵树。

struct Node {
int value;
Node *left;
Node *right;
};

Node * cloneNode(Node * node) {
if (!node) {
return NULL;
}
Node * N = new Node();
N->value = node->value;
N->left = cloneNode(node->left);
N->right = cloneNode(node->right);
return N;
}

然后看一下问题2的生成算法：

// 问题2
bool generateTrees(int n, list<Node*> &res) {
if (0 > n) {
return false;
}

generate(1, n, res);
return true;
}

/* param<start> : 以start为开始头结点
*  param<end> :   以end为结束头结点
*/
void generate(int start, int end, list<Node*> &res) {
if (start > end) {
res.push_back(NULL);
return ;
}

for (int i = start, i <= end; ++i) {
Node node;
list<Node*> listLeft;
list<Node*> listRight;
generate(start, i - 1, listLeft);
generate(i + 1, end, listRight);

node.value = i;
list<Node>::iterator iterLeft;
list<Node>::iterator iterRight;
for (iterLeft = listLeft.begin(); iterLeft != listLeft.end(); iterLeft++) {
node.left = *iterLeft;
for (iterRight = listRight.begin(); iterRight != listRight.end(); iterRight++) {
node.right = *iterRight;
res.push_back(cloneNode(&node));
}
}
}

return ;
}

Okay，到这里这个问题已经完美解决了…

路漫漫其修远兮，吾将上下而…