BNUOJ49098 神奇的身高 - DP （LIS）

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有一群小伙伴站成一行，每个人的身高都是非负整数，但是他们站在一起并不和谐。需要将他们的身高变成严格单调递增的正整数序列才是和谐的。现在你有一种神奇的魔法，可以任意改变一个人的身高。现在问题来了，你最少需要改变多少人的身高才能使整个队伍和谐。（改变后的身高必须为整数）

Input

有多组测试数据，保证大数据不超过15组。

每组测试数据：

第1行：一个数n表示人数（1≤n≤100000）

第2~n+1行：每行1个数，对应数组的元素（0≤A[i]≤10^9）

以EOF结束

Output

输出最少需要修改几人的身高才能使整个队伍和谐。

Sample Input

2
1
2
2
2
1

Sample Output

0
1

分析这个问题会自然地想到最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence），因为不需要修改的人组成的序列肯定是这样一个序列。

但是经过分析，我们并不能通过直接求出原序列的LIS长度用总长度减去它来得到答案，这是因为原序列的LIS可能会含有这类情况：

1,1,2,3 虽然最长的LIS长度为3，但是我们不能只把一个1改为2，因为它遇到了“相等”这一情况，修改后身高不是严格递增的。

这会让我们思考如何求一个与原序列有关，其LIS的情况哪怕是遇到“相等”也满足修改后原序列严格递增的。

一个容易想到的情况是，把序列中的所有数减去一个单调递增的序列得到新序列，这个新序列中，即便修改后遇到相等，加上原来的递增数列，原序列依旧严格递增

那么，我们应该减去什么序列呢？分析原题，我们不难发现完美的身高序列中每个人的身高都要大于其所占位置（从0开始计数）的序号，

判断条件即减去从1开始的正整数列，小于等于零的消去(这些身高必然要修改)，这部分人数暂记为ans，把结果大于零的输入一个新数列，这个新数列的LIS就是不需要修改的那些值；新数列总人数为tot，现在需要求的是它的每个元素减去下标后的最长上升子序列（LIS）长度dnum，利用动态规划就能实现

最后的答案是ans=ans+tot-dnum

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int a[maxn];
int b[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
int num=0,ans=0,tot=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
a[i]-=i;
if(a[i]<1){ ans++; }
else{ b[tot++]=a[i]; }
}
int dnum=0;
for(int i=0;i<tot;i++)
{
int pos = upper_bound(dp,dp+dnum,b[i])-dp;
if(pos==dnum)
dp[dnum++]=b[i];
else dp[pos]=b[i];
}
ans=ans+tot-dnum;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}