学习笔记_堆

Heap:堆

堆是一种建立在树上的结构，是一种完全二叉树型的数据结构，目前了解到的应用是堆排序，然后用于实现优先队列。堆的特点是，子结点一定比父结点大或者小于父结点。其中，所有子结点都小于父结点的堆是最大二叉堆，子结点小于父结点的是最小二叉堆。

堆的核心是heapify，维护堆合法性的算法；后续谈到的建立堆，堆排序，堆中插入元素，删除元素都离不开维护堆合法性。所以在一开始打算谈一下如何维护堆的合法性。

这里用到数组来模拟二叉堆。为所有的结点编号。那么任取一个结点，若该结点有子结点，则该结点的左子结点编号为父结点编号*2，右结点为其父结点编号*2+1。那么维护堆合法性就需要将选定结点与其子结点进行比较。以最大二叉堆为例，选出父结点，子结点中值最大的点，若该点不为父结点，则将该结点与父结点交换，并考虑交换后原交换结点处的合法性。代码如下：

void heapify(int *A,int i，int n)
{
int max=i;
int l,r;
l=i*2; r=i*2+1;
if (A[m]<A[l]&&l<n)
m=l;
if (A[m]<A[r]&&r<n)
m=r;
if (m!=i)
{
swap(A[m],A[i]);
heapify(A,m,n);
}
}

基于heapify可以实现堆的其他功能。接下来谈建堆，此处以建立最大堆为例。

void build_max_h(int *A,int n)
{
for (int i=n/2;i>=1;i--)
heapify(A,i,n);
}

在一个二叉堆中对于高度为h的堆，其第i层最多含有2^(i-1)个结点，且堆是一种完全二叉树型的数据结构。那么，h层的结点编号为2^(h-1)~2^h-1。一共有n个结点，那么n/2~n为叶子结点。对于这些结点可以看做仅含一个结点的子堆。那么从他们的父结点开始向上层考察堆的合法性，每次可以保证，从考察结点开始的子堆在合法性维护结束后，该子结点一定是合法的。那么考察到最顶层后，整个堆就是合法的。

堆排序是一种基于堆结构的排序方法。核心思想是取出堆顶元素，与最后一个元素交换位置，将元素数量减一，然后维护堆的合法性。

void heapsort(int *A,int &n
{
for (int i=n;i>=2;i--)
{
swap(A[1],A[i]);
n--;
heapify(A,1,n);
}
}