最大流


▶　问题
在一个有向图里，每个路径都有最大容量，通过这个图最多能运输多少货物。默认容量非负，且不能同时存在边（u，v）和（v，u）。
▶　基本思路
维护一个流网络，初始化为0，不断增加流的值。
维护一个残存网络（存储分配流后每条边剩余的容量），初始为最大容量。（在以下代码中，没有特别开一个数组存储残存网络，而是通过原容量减去流网络得到残存网络）
通过在残存网络里寻找增广路径（残存网络中从一条从源结点s到汇结点t的简单路径），并且根据这条路径的残存容量（能够为每条边增加的流量的最大值，也就是这条路径经过边的最小容量）来更新残存网络和流网络（在流网络里加上这个值，在残存网络里减去这个值），直到在残存网络中找不到增广路径为止。
在找不到增广路径时，流达到了稳定状态，也就是横跨任何切割的净流量相同，这个净割线的边流量的和为净流量，注意正向相加，反向相减）
▶　代码实现
·基本变量
　　int cap[MAX][MAX]; //记录每条路径的最大容量
　　int flow[MAX][MAX]; //记录当前的流网络
　　int a[MAX]; //记录当前路径的残存容量（最终的残余容量存储在a[t]中）
int path[MAX]; //路径压缩
int ans=0; //存储最大流
memset(cap,0,sizeof(cap));
memset(flow,0,sizeof(flow));

s代表源结点下标，t代表汇结点下标
　　以下过程循环进行，直到残存网络不包括任何增广路径：

·循环结束条件

a[t]==0 ，其中t代表汇结点，残余容量仍旧是初始值0，说明残余容量数据没有更新到汇结点处，也就说明找不到增广路径。
if(a[t]==0) break;

·循环具体步骤

①利用宽度优先搜索，在残存网络里找到一条增广路径。
queue<int>q; //全局变量，bfs使用
memset(a,0,sizeof(a));
a[s]=INF; // 第3,4行操作对象是源结点，s代表源结点的下标值
q.push(s);
while( !q.empty() ){
u=q.front();q.pop();
for(v=0;v<n;v++){
if( !a[v] && cap[u][v]>flow[u][v]){
path[v] = u;
q.push(v);
a[v] = min(a[u],cap[u][v]-flow[u][v]);
}
}
}
②更新流网络
for(u=t;u!=s;u=path[u]){
flow[path[u]][u]+=a[t];
flow[u][path[u]]-=a[t];
}

③用当前路径残存容量更新最大流
ans+=a[t];

▶　示例
　　橙色路径为当前的增广路径，图里显示的是残存网络
第一轮循环：



残存容量：12，ans = 12；
第二轮循环：



残存容量：4，ans = 16；
第三轮循环：



残存容量：7，ans = 23；



找不到增广路径

最终最大流为23。

此时的稳定流网络：



检测各个切割：





净流量12+11 = 23
净流量 12+7+4 = 23





　　　净流量11+19-7 = 23 净流量19+4 = 23

▶　具有多个源结点和汇点的网络

构造一个超级源结点和超级源汇点，让超级源结点指向所有源结点，添加一条容量为正无穷的有向边；让所有源汇点指向超级源汇点，添加一条容量为正无穷的有向边。
其余和普通最大流问题解决方法相同。

*《算法导论》中给出了存在反平行边的处理办法
*这里未引入反向边的概念，《算法导论》中的反向边就是这里的流网络。