应用笔记AN1078一阶数字低通滤波器推导和相位延迟计算

Microchip 的应用笔记 AN1078 中用作反电动势滤波的一阶数字低通滤波器由原文中的公式 4 给出，如下：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))
y(n) = y(n-1) + T2πf_c (x(n) - y(n))

该滤波器又称作一阶 RC 数字低通滤波器，该公式可由下图所示的 RC 低通滤波电路中推导出来。



由电路学知识可得：

Vin=Vout+RCdVoutdt
V_{in} = V_{out} + RC {{\rm d}V_{out} \over {\rm d}t}

其截止频率为：

ωc=2πfc=1RC
\omega_c = 2πf_c = {1 \over RC}

于是有：

2πfc(Vin−Vout)=dVoutdt
2πf_c (V_{in} - V_{out}) = {{\rm d}V_{out} \over {\rm d}t}

在数字域中，该方程式为：

2πfc(x(n)−y(n))=y(n)−y(n−1)T
2πf_c (x(n) - y(n)) = {y(n) - y(n-1) \over T}

整理后可得：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))
y(n) = y(n-1) + T2πf_c (x(n) - y(n))

原式得证。

关于此滤波器，应用笔记 AN1078 中还有如下一段描述：

截止频率的值被设置为等于驱动电流和电机电压的频率，该频率等于每秒的电气旋转圈数。由于自适应滤波器的实现方式，会有一个固定的相位延时（每个滤波器 -45°），用于所有速度范围内的 θ 补偿，因为截止频率会随着电机提速而改变。

RC 低通滤波电路的相移角公式如下：

φ=−arctan(2πfRC)=−arctan(ffc)
\varphi = - \arctan (2πfRC) = - \arctan ({f \over f_c})

不妨令 f=fcf = f_c，代入上式可得相移角为 φ=−arctan(1)=−45°\varphi = - \arctan(1) = -45°。即当截止频率等于输入信号的频率时，滤波器有一个固定的 -45° 的相位延时。