莫比乌斯反演

首先 莫比乌斯函数有个性质

∑d|nμ(d)={1 (n=1)0 (n>1)

证明：

①n=1时，不做多余说明。。。

②n>1,根据唯一分解定理，可以分解n=∏ki=1paii

对于那些含平方因子也就是存在ai不为1的数，它的函数值为0，对答案没有任何贡献。

所以我们来看看那些是互异素数乘积的数，每一个成为它约数的数是什么样的情况。

（1）若d中有0个质因子(d=1)，其函数值为1，这样的数有C0k个

（2）若有1个质因子，其函数值为-1，这样的数有C1k个

（3）若有2个质因子，其函数值为1，这样的数有C2k个

所以最后我们发现

∑d|nμ(d)=C0k−C1k+C2k−...+(−1)kCkk=∑ki=0(−1)iCik

怎么证明后面那个和式值为0？

二项式定理

(a+b)n=∑ni=0Cinaibn−i

令上面的n=k,a=−1,b=1

得∑ki=0(−1)iCik=(−1+1)k=0.

该性质得证。

证明：

最后一个式子是由莫比乌斯函数的性质的出来的。。。

这就是莫比乌斯反演 可以简化运算