动态规划学习之0-1背包和完全背包

背包问题大体上有三种类型，分别是0-1背包，完全背包和介于其中的背包问题。其中又有很多小的细节改变，比如说背包是否要求刚好装满。一般求解的是背包不要求刚好装满，只要求在限制范围内的最大价值就可以。

0-1背包的思路是这样的，不断地向背包添加物品，对于一个物品，当背包容量为v时，选择是添加当前物品进背包还是不添加直

接用前面的安排。V[j][C] = max{V[j-1][C],V[j-1][C-w[j]]+value[j] },表示选择不添加当前这个背包还是添加这个背包，对应的例子：

No	weight	value
1	2	3
2	3	4
3	4	5

那么0-1背包的对应状态表应该为 C=5时：

	1	2	3	4	5
1	0	3	3	3	3
2	0	3	4	4	7
3	0	3	4	4	7

一种最优化的时间，空间地方式是将存储状态改成一维数组，这个数组每次从C=max开始添加背包，这样C-W[i]就是上一个状态的值，可以保证每个背包只被添加一次。
对于完全背包C=1开始，这样C-W[I]就是可以被添加多次的此次被计算过的最大值。

完全背包上面的例子的状态应该是：

	1	2	3	4	5
1	0	3	3	6	6
2	0	3	4	6	7
3	0	3	4	6	7

0-1背包时候最优空间的解法方程是
for(int i=0;i<n;i++)
   for(int j= V;j>=0;j--)
   {
       if(j>=weight[i])
       {
   if(f[j-weight[i]]+value[i]>f[j])
        f[j] = f[j-weight[i]]+value[i]; 
    }
   }

完全背包的时候最优空间的解法方程是：

for(int i=0;i<n;i++)
   for(int j= 0;j<=V;j++)
   {
       if(j>=weight[i])
       {
   if(f[j-weight[i]]+value[i]>f[j])
        f[j] = f[j-weight[i]]+value[i]; 
    }
   }

0-1背包 code :

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
int n,V;
cin>>n>>V;
int value
,weight
;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>value[i]>>weight[i];
int f[V+1]; //此时不要求刚好装满背包，所以可以将f[V]初始化为0，f[V]存放的是当V为背包容量时，最大地放入价值
memset(f,0,(V+1)*sizeof(int));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j= V;j>=0;j--)
{
if(j>=weight[i])
{
if(f[j-weight[i]]+value[i]>f[j])
f[j] = f[j-weight[i]]+value[i];
}
cout<<"i="<<i<<" j="<<j<<":"<<f[j]<<endl;
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}

完全背包code:

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
int n,V;
cin>>n>>V;
int value
,weight
;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>value[i]>>weight[i];
int f[V+1]; //此时不要求刚好装满背包，所以可以将f[V]初始化为0，f[V]存放的是当V为背包容量时，最大地放入价值
memset(f,0,(V+1)*sizeof(int));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j= 0;j<=V;j++)
{
if(j>=weight[i])
{
if(f[j-weight[i]]+value[i]>f[j])
f[j] = f[j-weight[i]]+value[i];
}
cout<<"i="<<i<<" j="<<j<<":"<<f[j]<<endl;
}
cout<<f[V]<<endl;
return 0;
}

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