利用反证法证明Nim Game中的定理(结论)

游戏规则：有N堆物品，每堆有M[i](1 <= i <= N)个物品，两个人轮流从任意一堆上取任意多的物品，最后取光者胜。两人都采取最优策略，问，是先手赢还是后手赢？

定理(结论)说明：如果对于点(状态) (a1, a2, a3, ……, an)，有a1 xor a2 xor a3 xor …… xor an == 0，那么这个点就是Ｐ(必败)点；如果对于点(状态) (a1, a2, a3, ……, an)，有a1 xor a2 xor a3 xor …… xor an != 0，那么这个点就是N(必胜)点。(xor是关于二进制位的抑或操作)

证明：

也许有的同学在此之前并没有了解过博弈，所以我们还需要说明一些东西。

第一个是关于Ｐ点和Ｎ点的简单说明。Ｐ点即是Privious-point，表示先手在这个位置，先手必败；Ｎ点即是Next-point，表示先手在这个位置，后手必败。

第二个是关于Ｐ点和Ｎ点的三个简单却又及其重要的属性。属性一，所有的终结点都是Ｐ点；属性二，所有的Ｎ点都肯定至少会有一种方法到达Ｐ点；属性三，所有的Ｐ点都只能到达Ｎ点。

看了以上关于Ｐ点和Ｎ点的叙述，大家可以先仔细思考一下。

那么接下来的证明就比较简单了。

第一，如果Ｐ点a1 xor a2 xor …… xor an == 0(式子一)，能把其中的一个ai变成ai’使得a1 xor a2 xor …… xor ai’ xor …… xor an == 0(式子二)成立，我们就说这样的点它不是P点，是吧。很明显，我们真的无法找到这样的ai’使得式子二成立。由于这个很容易想清楚，就不再多说了，自己思考吧。

第二，如果Ｎ点a1 xor a2 xor …… xor an != 0(式子三)，不能够找到一个ai’(ai’ < ai)使得a1 xor a2 xor …… xor ai xor …… xor an == 0(式子四)，那么就说明这样的点它不是Ｎ点。但是我们确实是能够找到这样的ai’的。两个数的情况就不再赘述了，当有多于三个数的情况，其实我们只用考虑三个点情况就可以了，只需要拿出任意的两个数，其余的数抑或起来成为一个数就行了。在三个数的情况下我们又分为两种情况。第一种情况，其中有两个数或者三个数相等时，比如说(x, x, y)和(x, x, x,)我们都可以通过一步到达(x, x, 0)；第二种情况，(x, y, z)三个数互不相等，我们只需要找到其中的某两个数抑或起来小于第三个，然后让第三个数减少成为那两个数抑或起来的结果，那么就到达了Ｐ点了。那么任意三个互不相等的数一定会是这样么？我们把它们转换成二进制来看，我们考虑高位是否为１，可以分成以下几类：１. (x)2 = 1a, (y)2 = 1b, (z)2 = 1c，其中任意两个数相抑或高位都会变成０，所以……；2. (x)2 = 1a, (y)2 = 1b, (z)2 = ０c，其中a xor c 必然不等于 b xor c，否则a == b就变成了第一种情况了，那么就会必然有a xor c != b && b xor c != a，如果相等了，那这就是Ｐ点而不是Ｎ点了，是吧? 那么就必然会有a xor c < b || b xor c < a，为什么呢？你试着在不等式的两边都抑或上一个c，发现了什么么？所以……；３．(x)2 = 1a, (y)2 = 0b, (z)2 = 0c，那么y xor z < x，所以……。综上所述，对于Ｎ点所对应的式子三，我们肯定能找到一个ai’(ai’ < ai)，使得式子四成立，那就是我们的Ｎ点一定能到达一个Ｐ点，是吧？

证毕！