【 Codeforces 514E 】Darth Vader and Tree - DP 矩乘转移

　　题面比较文艺。

　　大意：给一棵树，这个树有无限个节点。对于每个点，都有n个儿子，第i个儿子与这个点的距离为did_i。问这棵树有多少个点离根的距离不超过x。

　　首先可以列出一个DP：f[i]=∑nj=1f[i−dj]f[i]=\sum_{j=1}^n f[i-d_j]，边界是f[0]=1f[0]=1。

　　似乎不是那么好做。但是注意到，di<=100d_i<=100，这意味着DP可以简化一下，变成连续的；f[i]=∑100j=1f[i−j]∗cnt[j]f[i]=\sum_{j=1}^{100} f[i-j]*cnt[j]，其中j表示有多少条边权为j的边。要求的答案是∑xi=0f[i]\sum_{i=0}^x f[i]，cnt可以预处理出来，接下来就是很经典的矩阵快速幂啦！

　　令s[i]=∑1<=j<=if[j]s[i]=\sum_{1<=j<=i} f[j]。设F=(f[1]f[2]...f[100]s[100])F=\begin{pmatrix}f[1]&f[2]&...&f[100]&s[100]\end{pmatrix}

　　有伴随矩阵A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜0100...000010...000001...00..................0000...10cnt[100]cnt[99]cnt[98]cnt[97]...cnt[1]0cnt[100]cnt[99]cnt[98]cnt[97]...cnt[1]1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟A=\begin{pmatrix}0&0&0&...&0&cnt[100]&cnt[100]\\1&0&0&...&0&cnt[99]&cnt[99]\\0&1&0&...&0&cnt[98]&cnt[98]\\0&0&1&...&0&cnt[97]&cnt[97]\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\.&.&.& &.&.&.\\0&0&0&...&1&cnt[1]&cnt[1]\\0&0&0&...&0&0&1\\\end{pmatrix}

　　这个是显然的。左半部分是移位用的，倒数第二列用来计算新的f值，最后一列用新的f值加上s得到新的s值。

　　这样答案就是FAx−100FA^{x-100}的最后一个位。

　　当然前面要DP预处理一下，然后判断一下，再跑矩乘。

　　

[code]#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i <= _ ; i ++)
#define per(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i >= _ ; i --)
#define For(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i <  _ ; i ++)

inline int rd() {
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) c = getchar() ; int x = c - '0';
    while (isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0';
    return x;
}

const int mod = 1000000007;

typedef long long ll;

inline int mul(int a , int b) { return (ll) a * b % mod; }

struct Matrix {
    int a[101][101];
    Matrix() { memset(a , 0 , sizeof a) ; }

    friend Matrix operator*(Matrix&A , Matrix&B) {
        Matrix C = Matrix();
        For (i , 0 , 101) For (j , 0 , 101) For (k , 0 , 101)
            (C.a[i][j] += mul(A.a[i][k] , B.a[k][j])) %= mod;
        return C;
    }
}A , B , T;

int n , x , cnt[101] , f[101];

void input() {
    n = rd() , x = rd();
    rep (i , 1 , n) cnt[rd()] ++;
}

void init() {
    f[0] = 1;
    rep (i , 1 , 100)
        rep (j , 1 , i) (f[i] += mul(f[i - j] , cnt[j])) %= mod;
}

void solve() {
    init();
    if (x <= 100) {
        int ans = 0;
        rep (i , 0 , x) (ans += f[i]) %= mod;
        printf("%d\n" , ans);
        return;
    }
    For (i , 0 , 100) A.a[0][i] = f[i + 1] , (A.a[0][100] += f[i + 1]) %= mod;
    For (i , 0 , 99 ) B.a[i + 1][i] = 1;
    B.a[100][100] = 1;
    For (i , 0 , 100) B.a[i][99] = B.a[i][100] = cnt[100 - i];
    For (i , 0 , 101) T.a[i][i] = 1;
    for (x -= 100;x;x >>= 1) {
        if (x & 1) T = T * B;
        B = B * B;
    }
    A = A * T;
    printf("%d\n" , (A.a[0][100] + 1) % mod);
}

int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.txt" , "r" , stdin);
    #endif
    input();
    solve();
    return 0;
}