Riemann积分和Lebesgue积分角度下一积分不等式的等号成立充要条件的研究

2016.1.19更新：实变函数出成绩了，96分滚粗了。好叭，在考试前牛哥给我思考了一个本论文结论的一个加强版问题非常有趣，故现在扔出来记录记录：在一个闭区间[a,b][a,b]上若任意子区间[x,y][x,y]上对可积函数ff有∫[x,y]fdm=0\int_{[x,y]}fdm=0，那么求证在[a,b][a,b]上ff的勒贝格积分为0.

大致地写一写思路，这个问题大概想了20分钟，和牛哥比起来根本无法同台竞技。首先联想到本论文中需要的是非负函数（大家可以先看下面的文章再回来看这里），那么可以将ff分为正负部即f=f+−f−f=f_+-f_-，这样的话就可以对非负函数正部和负部进行讨论，反正是有限的（2个函数），那么用博雷尔集FσF_{\sigma}去考察正部（负部类似）的可测集，那么由于FσF_{\sigma}集为至多可列个闭集的并，由积分的完全可加性和条件任意闭区间上积分为0即可证明本问题。

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本文为本学期实变函数的课程论文