bzoj4009: [HNOI2015]接水果

Description

风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu!的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。
由于她已经DT FC 了The big black, 她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更
加难的版本。首先有一个地图，是一棵由 n 个顶点、n-1 条边组成的树（例如图 1
给出的树包含 8 个顶点、7 条边）。这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条
路径（例如图 1 中顶点 6 到顶点 8 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 i 个
盘子就是顶点a_i到顶点b_i的路径(由于是树，所以从a_i到b_i的路径是唯一的)，
权值为c_i。接下来依次会有Q个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第
i 个水果是从顶点 u_i 到顶点v_i 的路径。幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水
果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如
图1中从 3到7 的路径是从1到8的路径的子路径）。这里规定:从a 到b的路径与
从b到 a的路径是同一条路径。当然为了提高难度，对于第 i 个水果，你需要选择
能接住它的所有盘子中，权值第 k_i 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数
的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水
果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？

Input

第一行三个数 n和P 和Q，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。

接下来n-1 行，每行两个数 a、b，表示树上的a和b 之间有一条边。树中顶点
按1到 n标号。 接下来 P 行，每行三个数 a、b、c，表示路径为 a 到 b、权值为 c 的盘子，其
中0≤c≤10^9，a不等于b。
接下来Q行，每行三个数 u、v、k，表示路径为 u到 v的水果，其中 u不等于v，你需要选择第 k小的盘子，
第k 小一定存在。

Output

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

Sample Input

10 10 10

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

3 2 217394434

10 7 13022269

6 7 283254485

6 8 333042360

4 6 442139372

8 3 225045590

10 4 922205209

10 8 808296330

9 2 486331361

4 9 551176338

1 8 5

3 8 3

3 8 4

1 8 3

4 8 1

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 4 1

1 4 1

Sample Output

442139372

333042360

442139372

283254485

283254485

217394434

217394434

217394434

217394434

217394434

HINT

N,P,Q<=40000。

题解：

首先得到每个节点的dfs序和以这个节点为根的子树中dfs序最大值，分别记作dfn[u]和last[u]

显然，A路径覆盖B路径当且仅当B路径的两个端点都在A路径上

对于每一个盘子(u,v)（假设dfn[u]<dfn[v]），有以下两种情况

1.lca(u,v)!=u时，如图



（虚线表示有一条路径，实线表示一条边，下同）

显然这个盘子能接到的水果(a,b)（假设dfn[a]<dfn[b]，下同）满足dfn[u]<=dfn[a]<=last[u] && dfn[v]<=dfn[b]<=last[v]

2.当lca(u,v)==u时，如图



设w为u在(u,v)这条路径上的儿子节点

则这个盘子能接到的水果(a,b)满足( (1<=a<=dfn[w]-1) || (last[w]+1<=a<=n) ) && (dfn[v]<=b<=last[v])

我们可以将水果(a,b)看成平面上的一个点(dfn[a],dfn[b])，将盘子看成一个或两个矩形

那么问题就转化为对于平面上的一个点，求覆盖它的第k小的矩形

这是一个整体二分的经典题，用扫描线+树状数组搞定

我们先将矩形按权值从小到大排序

然后对于一个点，如果[l,mid]中能覆盖这个点的矩形数不小于k，则说明答案在[l,mid]中

否则在[mid+1,r]，同时k减去覆盖的矩形数

code:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 80005
using namespace std;
char ch;
bool ok;
void read(int &x){
for (ok=0,ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') ok=1;
for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
if (ok) x=-x;
}
int n,p,q,a,b,u,v,w,val,lca,k,tot,now[maxn],son[maxn<<1],pre[maxn<<1];
int idx,dfn[maxn],last[maxn],fa[maxn][17],dep[maxn];
void put(int a,int b){pre[++tot]=now[a],now[a]=tot,son[tot]=b;}
void dfs(int u){
dfn[u]=++idx;
for (int i=0;fa[u][i];i++) fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i];
for (int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p])
if (v!=fa[u][0]) fa[v][0]=u,dep[v]=dep[u]+1,dfs(v);
last[u]=idx;
}
void swim(int &u,int d){for (int i=16;d;i--) if (d>=(1<<i)) d-=(1<<i),u=fa[u][i];}
int calc_lca(int u,int v){
if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
swim(u,dep[u]-dep[v]);
if (u==v) return u;
for (int i=16;i>=0;i--) if (fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
return fa[u][0];
}
int cnt;
struct Plate{
int x,xx,y,yy,val;
}plate[maxn];
bool cmp1(Plate a,Plate b){return a.val<b.val;}
struct Point{
int x,y,k,id;
}point[maxn],tmpl[maxn],tmpr[maxn];
struct bit{
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
int v[maxn];
void modify(int l,int r,int val){
for (int i=l;i<=n;i+=lowbit(i)) v[i]+=val;
for (int i=r+1;i<=n;i+=lowbit(i)) v[i]-=val;
}
int query(int x){
int ans=0;
for (int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=v[i];
return ans;
}
}T;
struct Event{
int x,y,yy,v,id;
}event[maxn<<1];
bool cmp2(Event a,Event b){
if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;
return a.id<b.id;
}
int sum[maxn],ans[maxn];
void solve(int l,int r,int st,int ed){
if (st>ed) return;
if (l==r){
for (int i=st;i<=ed;i++) ans[point[i].id]=plate[l].val;
return;
}
int m=(l+r)>>1,siz=0;
for (int i=l;i<=m;i++){
event[++siz]=(Event){plate[i].x,plate[i].y,plate[i].yy,1,0};
event[++siz]=(Event){plate[i].xx,plate[i].y,plate[i].yy,-1,n+1};
}
for (int i=st;i<=ed;i++) event[++siz]=(Event){point[i].x,point[i].y,0,0,i};
sort(event+1,event+siz+1,cmp2);
for (int i=1;i<=siz;i++) if (st<=event[i].id&&event[i].id<=ed) sum[event[i].id]=T.query(event[i].y);
else T.modify(event[i].y,event[i].yy,event[i].v);
int a=0,b=0;
for (int i=st;i<=ed;i++) if (sum[i]>=point[i].k) tmpl[++a]=point[i];
else tmpr[++b]=(Point){point[i].x,point[i].y,point[i].k-sum[i],point[i].id};
for (int i=st;i<=st+a-1;i++) point[i]=tmpl[i-st+1];
for (int i=st+a;i<=ed;i++) point[i]=tmpr[i-st-a+1];
solve(l,m,st,st+a-1),solve(m+1,r,st+a,ed);
}
int main(){
read(n),read(p),read(q);
for (int i=1;i<n;i++) read(a),read(b),put(a,b),put(b,a);
dfs(1);
for (int i=1;i<=p;i++){
read(u),read(v),read(val),lca=calc_lca(u,v);
if (dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v);
if (u!=lca) plate[++cnt]=(Plate){dfn[u],last[u],dfn[v],last[v],val};
else{
w=v,swim(w,dep[v]-dep[u]-1);
plate[++cnt]=(Plate){1,dfn[w]-1,dfn[v],last[v],val};
if (last[w]+1<=n) plate[++cnt]=(Plate){dfn[v],last[v],last[w]+1,n,val};
}
}
sort(plate+1,plate+cnt+1,cmp1);
for (int i=1;i<=q;i++){
read(u),read(v),read(k);
if (dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v);
point[i]=(Point){dfn[u],dfn[v],k,i};
}
solve(1,cnt,1,q);
for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}