【蓝桥第二周】01背包问题

01背包问题

题目描述 Description

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。

求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

输入描述 Input Description

第一行两个整数分别是N件物品与背包容量V

接下来分别是N行，每行两个数分别是当前物品的重量w与价值v;

输出描述 Output Description

在不超过背包容量的前提下输出最大的价值总和。

样例输入 Sample Input

5 10

2 6

2 3

6 5

5 4

4 6

样例输出 Sample Output

15

解法一、二维数组

[解题思路]

即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物 品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

[代码实现]

#include<iostream>
using namespace std;
int max(const int &a, const int &b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int N ,V=0;               //物品个数,背包最大容量
cin>>N>>V;

//动态分配内存
int *value=new int[N+1];  //每个物品价值 ·
int *weight=new int[N+1]; //每个物品重量

//二维数组的动态申请
int **f=new int *[N+1];
for(int i=0;i<N+1;i++)
{
f[i]=new int[V+1];
}
//初始化
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}

f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=V;j++)
{
f[i][j]=INT_MIN;		//恰好
//f[i][j]=0;             //不超过
}

//核心算法 动态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i])
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=0;j<=V;j++)
{
if(weight[i]<=j)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
else
f[i][j]=f[i-1][j];

}
}
cout<<f
[V]<<endl;

//内存回收
delete []weight;
delete []value;
for (int i = 0; i < N+1; i++)
{
delete f[i];//由里至外，进行释放内存。
f[i]= NULL;//不要忘记，释放空间后p[i]不会自动指向NULL值，还将守在原处，只是释放内存而已，仅此而已。
}
delete []f;
f = NULL;

return 0;
}

解法二、一维数组

[解题思路]

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组 f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1]
[v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。

[代码实现]

#include<iostream>
using namespace std;
int max(const int &a,const int &b)
{
return a>b?a:b;
}
void ZeroOnePack(int weight, int value, int *f, int V)//01背包
{
for (int v=V;v>=weight;v--) //v>=weight不超过背包容量才继续
{
f[v]=max(f[v],f[v-weight]+value);
//cout<<v<<": "<<f[v]<<endl;  //测试用的
}
}
int main()
{
int N ,V=0;               //物品个数,背包最大容量
cin>>N>>V;
int *value=new int[N+1];  //每个物品价值
int *weight=new int[N+1]; //每个物品重量
int *f=new int[V+1];      //价值总和
for(int i=1;i<=N;i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
//初始化
f[0]=0;
for(int i=1;i<=V;i++)
{
f[i]=INT_MIN;		//恰好 INT_MIN为int类型的最小值
//f[i]=0;           //不超过背包容量总和
}
//状态转移方程 :f[v]=max(f[v],f[v-weight[i]]+value[i]);
for (int i=1;i<=N;i++)
{
//cout<<"i="<<i<<endl;        //测试用的
ZeroOnePack(weight[i],value[i],f,V);	 //01背包
}

//输出
if(f[V] <0)
cout<<-1<<endl;   //问题无解输出-1
else cout<<f[V]<<endl;

//回收内存
delete []value;
delete []weight;
delete []f;
return 0;
}

最后还有一个要注意的就是恰好装满和不超过背包重量的问题。

如果要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f
是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么
任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

详细的大家可以看背包九讲，讲得很详细。