自动控制原理：二阶系统的动态性能分析

系统在欠阻尼情况时的单位跃迁响应为：

c(t)=1−e−ζωnt1−ζ2−−−−−√sin(ωdt+θ)c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\theta)

其中ωd=ωn1−ζ2−−−−−√\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}，θ=arctan1−ζ2√ζ\theta=arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}或θ=arccosζ\theta=arccos\zeta。

上升时间

tr=π−θωd=π−θωn1−ζ2−−−−−√t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}=\frac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}

可见，当ωn\omega_n一定时，阻尼比ζ\zeta越大，上升时间trt_r越长，当ζ\zeta一定时，wnw_n越大，则trt_r越小。

峰值时间

tp=πωd=πωn1−ζ2−−−−−√t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}

可见,当ζ\zeta一定时，ωn\omega_n越大，tpt_p越小，反应速度越快。当ωn\omega_n一定时，ζ\zeta越小，tpt_p也越小。由于ωd\omega_d是闭环极点虚部的数值，ωd\omega_d越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间tpt_p与闭环极点到实轴的距离成反比。

超调量

σp=e−πζ1−ζ2√×100%\sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%

σp\sigma_p只是ζ\zeta的函数，与ωn\omega_n无关，ζ\zeta越小，σp\sigma_p越大。当二阶系统的阻尼比ζ\zeta确定后，即可求出对应的超调量σp\sigma_p。

调节时间

ts≈3ζωn(Δ=0.05)和ts≈tζωn(Δ=0.02)t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}(\Delta=0.05)和t_s\approx\frac{t}{\zeta\omega_n}(\Delta=0.02)

调节时间tst_s近似于ζωn\zeta\omega_n成反比。由于ζωn\zeta\omega_n是闭环极点实部的数值，ζωn\zeta\omega_n越大越大，则闭环极点到虚轴距离越远。