POJ 1741 Tree（点分治）

题意:

N≤104的一棵树,(u,v,l),l≤103三元组描述这棵树,求dis(u,v)≤k,u≠v的点对数,k≤109

分析:

暴力的O(n2),以及dp的O(nk)肯定都是跑不过的,我们需要一个带log的算法,那么考虑分治

这里点分治,显然对于一棵树,为了不能退化每次应该选择一个特殊的点,删除这个点后得到的最大子树的顶点数应该最少

我们称这样删除这个点后得到的最大子树的顶点数最少的点叫做重心

事实上删除重心后,树的大小至少会减半

下面考虑证明存在这样的点具有重心的性质

选择任意顶点为起点,每次都向着最大子树的方向移动的话,最终定会到底一个点使得所有子树的大小不超过n/2

设当前顶点为u,如果u已经满足条件了那么算法应该终止,否则,某个与u相邻的顶点的子树的大小>n/2,假设它为点v

我们把v作为新的起点,不断重复这个过程,一定会在有限步终止

对于移动的边(u,v),u侧子树的大小<n/2,v测子树的大小>n/2,一定不会从v回到u,顶点数有限那么算法必然会在有限步终止

上面所说的也就是树形dp来求重心的过程

接着考虑如何统计点对,对于分治递归的过程中,我们可以顺便统计在同一颗子树的点对

但是最后归并的过程中,要减去它们,它们被重复统计了,挑战讲的非常棒

至此问题解决



代码:

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//
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
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#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e4 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, k, ans;

struct Edge {
int v, nxt, c;
} edge[N << 1];
int head
, cnt;

void addEdge(int u, int v, int c) {
edge[cnt] = (Edge) {v, head[u], c};
head[u] = cnt++;
}

bool vis
;
int sz
, mx
, centroid;

int getAll(int u, int f) {
int ret = 1;
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(v == f || vis[v]) continue;
ret += getAll(v, u);
}
return ret;
}

void getCentroid(int u, int f, int all) {
sz[u] = 1; mx[u] = 0;
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(v == f || vis[v]) continue;
getCentroid(v, u, all);
sz[u] += sz[v];
mx[u] = max(mx[u], sz[v]);
}
mx[u] = max(mx[u], all - sz[u]);
if(!centroid || mx[u] < mx[centroid]) centroid = u;
}

void getDs(int u, int f, int dis, vector<int>& ds) {
ds.push_back(dis);
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(v == f || vis[v]) continue;
getDs(v, u, dis + edge[i].c, ds);
}
}

int calc(vector<int>& ds) {
int ret = 0;
sort(ds.begin(), ds.end());

for(int i = 0, j = ds.size() - 1; i < j; ++i) {
while(i < j && ds[i] + ds[j] > k) --j;
ret += j - i;
}
return ret;
}

void solve(int u) {
centroid = 0;
getCentroid(u, -1, getAll(u, -1));

int s = centroid;
vis[s] = true;

for(int i = head[s]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
solve(v);
}

vector<int> ds; ds.push_back(0);
for(int i = head[s]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].v;
if(vis[v]) continue;

vector<int> tds;
getDs(v, s, edge[i].c, tds);

ans -= calc(tds);
ds.insert(ds.end(), tds.begin(), tds.end());
}

ans += calc(ds);
vis[s] = false;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
ios_base::sync_with_stdio(0);

while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2 && (n || k)) {
cnt = 0; memset(head, -1, sizeof head);
for(int i = 1; i < n; ++i) {
int u, v, c; scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
addEdge(u, v, c);
addEdge(v, u, c);
}

ans = 0;
solve(1);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}