[BZOJ1010][HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化第一题

很明显我们得到朴素的转移方程dp[i]=min{dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2,dp[i]} (0≤j<i)dp[i]=min\{dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)^2,dp[i]\}~~(0\le j

时间复杂度为O(N2)O(N^2)

我们定义f[i]=sum[i]+i,C=L+1f[i]=sum[i]+i,C=L+1,那么上式转变成dp[i]=min{dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2,dp[i]} (0≤j<i)dp[i]=min\{dp[j]+(f[i]-f[j]-C)^2,dp[i]\}~~(0\le j

然后我们来证明决策的单调性

假设在ii处有两个决策点j,k(j<k)j,k(j,且kk的决策比jj好

即要证明dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2>dp[k]+(f[i]−f[k]−C)2——————[1]\begin{eqnarray*}dp[j]+(f[i]-f[j]-C)^2&\gt&dp[k]+(f[i]-f[k]-C)^2——————[1]\end{eqnarray*}

假设i后面的某状态t有f[t]=f[i]+v (t>i)假设i后面的某状态t有f[t]=f[i]+v~~(t>i)

我们想知道ii对于后面状态tt的影响,那么要证明

dp[j]+(f[t]−f[j]−C)2dp[j]+(f[i]+v−f[j]−C)2dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2+2⋅v⋅(f[i]−f[j]−C)+v2>>>dp[k]+(f[t]−f[k]−C)2dp[k]+(f[i]+v−f[k]−C)2dp[k]+(f[i]−f[k]−C)2+2⋅v⋅(f[i]−f[k]−C)+v2\begin{eqnarray*}dp[j]+(f[t]-f[j]-C)^2&\gt&dp[k]+(f[t]-f[k]-C)^2\\ dp[j]+(f[i]+v-f[j]-C)^2&\gt&dp[k]+(f[i]+v-f[k]-C)^2\\ dp[j]+(f[i]-f[j]-C)^2+2\cdot v\cdot (f[i]-f[j]-C)+v^2&\gt&dp[k]+(f[i]-f[k]-C)^2+2\cdot v\cdot (f[i]-f[k]-C)+v^2\\ \end{eqnarray*}

由[1][1]我们得到

(f[i]−f[j]−C)f[k]>>(f[i]−f[k]−C)f[j]\begin{eqnarray*}(f[i]-f[j]-C)&\gt&(f[i]-f[k]-C)\\ f[k]&\gt&f[j]\end{eqnarray*}

显然f[i]f[i]单调递增且k>jk>j,那么假设[1][1]成立

dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2>dp[k]+(f[i]−f[k]−C)2\begin{eqnarray*}dp[j]+(f[i]-f[j]-C)^2&\gt&dp[k]+(f[i]-f[k]-C)^2\end{eqnarray*}

我们将其展开可得

dp[j]+f[i]2+(f[j]+C)2−2⋅f[i]⋅(f[j]+C)dp[j]+(f[j]+C)2−dp[k]−(f[k]+C)2>>dp[k]+f[i]2+(f[k]+C)2−2⋅f[i]⋅(f[k]+C)2⋅f[i]⋅(f[j]−f[k])\begin{eqnarray*}dp[j]+f[i]^2+(f[j]+C)^2-2\cdot f[i]\cdot (f[j]+C)&\gt&dp[k]+f[i]^2+(f[k]+C)^2-2\cdot f[i]\cdot (f[k]+C)\\dp[j]+(f[j]+C)^2-dp[k]-(f[k]+C)^2&\gt&2\cdot f[i]\cdot (f[j]-f[k])\\\end{eqnarray*}

dp[j]−dp[k]+(f[j]+C)2−(f[k]+C)22(f[j]−f[k])<f[i]\begin{eqnarray*}\frac{dp[j]-dp[k]+(f[j]+C)^2-(f[k]+C)^2}{2(f[j]-f[k])}&\lt&f[i]\end{eqnarray*}

所以我们得到斜率x(j,k)x(j,k)x(j,k)=dp[j]−dp[k]+(f[j]+C)2−(f[k]+C)22(f[j]−f[k])\begin{eqnarray*}x(j,k)=\frac{dp[j]-dp[k]+(f[j]+C)^2-(f[k]+C)^2}{2(f[j]-f[k])}\end{eqnarray*}
有x(j,k)<f[i]有x(j,k)\lt f[i]

所以当j<k且x(j,k)<f[i]j\lt k且x(j,k)\lt f[i]时,我们可以O(1)O(1)判断k比j更优,同时我们发现它的两个条件满足单调队列优化的性质k比j更优,同时我们发现它的两个条件满足单调队列优化的性质

const
maxn=50005;
var
sum,f,t,dp,x:array[0..maxn]of int64;
q:array[0..2*maxn]of longint;
i,j,k:longint;
n,l,head,tail,tt:longint;
c:int64;
function g(a,b:longint):real;
var d:real;
begin
d:=(dp[a]-dp[b]+(f[a]+c)*(f[a]+c)-(f[b]+c)*(f[b]+c))/(2.0*(f[a]-f[b]));
exit(d);
end;

begin
readln(n,l); sum[0]:=0; c:=l+1;
for i:=1 to n do
begin
readln(x[i]);
sum[i]:=sum[i-1]+x[i];
f[i]:=sum[i]+i;
end;
q[1]:=0; dp[0]:=0; head:=1; tail:=1;
for i:=1 to n do
begin
while (head<tail)and(g(q[head],q[head+1])<=f[i]) do inc(head);
tt:=q[head];
dp[i]:=dp[tt]+(f[i]-f[tt]-c)*(f[i]-f[tt]-c);
while (head<tail)and(g(q[tail-1],q[tail])>g(q[tail],i)) do dec(tail);
inc(tail); q[tail]:=i;
end;
writeln(dp
);
end.