[leetcode] 134. Gas Station

There are
N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station
i is
gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costscost[i] of gas to travel from stationi to its
next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:

The solution is guaranteed to be unique.

这道题给出一组加油站储存的油量和加油站之间的油耗，问能否从一个加油站出发依次走完所有加油站回到原点，题目难度为Medium。

对于任意加油站m，如果gas[m]<cost[m]，则不能从m出发，直接查看下一个加油站。如果gas[m]>=cost[m]，则可以从m出发，每经过一个加油站统计剩下的油量，如果剩下油量为负，表明从m出发已不能到达此加油站，将此加油站记为n。从m到n之间的任意加油站出发也不能到达n，为什么呢？取m和n之间的任一加油站p，从m到p剩下的油量肯定不为负，因而从p到n剩下的油量比从m到n剩下的油量小（或相等），也必定为负，所以从m和n之间任意加油站不能到n。这样我们接着检查n的下一个加油站直至找到答案。具体代码：

class Solution {
public:
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
if(gas.empty()) return -1;
int sz = gas.size();
int idx = 0, pos = 0;
int left = 0;
while(idx < sz) {
if(gas[idx] < cost[idx]) {
idx++;
}
else {
while(left >= 0) {
if(pos == idx + sz) return idx;
left += (gas[pos%sz]-cost[pos%sz]);
pos++;
}
left = 0;
idx = pos;
}
pos = idx;
}
return -1;
}
};

这种方法时间复杂度为O(n)，所有加油站遍历次数不超过两次。查看别人的代码有仅遍历一次的方法，先上代码：

class Solution {
public:
int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
if(gas.empty()) return -1;
int idx = 0;
int left = 0, total = 0;
for(int i=0; i<gas.size(); i++) {
left += gas[i]-cost[i];
if(left < 0) {
total += left;
left = 0;
idx = i + 1;
}
}
total += left;
return (total>=0) ? idx : -1;
}
};

为什么遍历一次最后记录的起点就是满足条件的呢？这里基于两点：第一，题目限定结果唯一或无解；第二，如果gas[0]+gas[1]+...+gas[n-1] > cost[0]+cost[1]+...+cost[n-1]，则必定存在一个加油站，从此加油站开始能够顺利走完一圈回到原点。

第一点是题目限定的，不再说明。第二点真的成立吗？试着举反例很久没有想明白，所以查看了别人的证明，具体如下：
只有一个加油站：结论成立，不再说明。
两个加油站a和b：如果gas[a]>=cost[a]、gas[b]>=cost[b]，则从任意加油站开始都可以走完（题目限定结果唯一，不包括此情况也无所谓）。如果gas[a]<cost[a]，则gas[b]>cost[b]，这样能够从b出发顺利到达a，同时由于gas[a]+gas[b]>cost[a]+cost[b]，所以到达a后仍能够顺利回到b；同理gas[b]<cost[b]结论一样成立。

三个加油站a、b和c：如果gas[a]>cost[a]、gas[b]>cost[b]、gas[c]>cost[c]，和两个加油站的情况相同。如果gas[a]<cost[a]，此时又分两种情况：

gas[b]>=cost[b]，能够从b出发顺利到达c，这样可以把b和c合并为一个加油站b'，就把问题化解为两个加油站a和b'的情况，已证。

gas[b]<cost[b]，则gas[c]>cost[c]，能够从c出发顺利到达a，这样把c和a合并为一个加油站c'，同上把问题化解为两个加油站c'和b的情况，已证。

其他的情况也能够按照上面的方法化解为两个加油站的情况。

这样能够把任意加油站的情况按照上述方法逐次转化为两个加油站，结论成立。

由上面提到的两点能够确定：如果最后剩下的油量为负则无解，如果为正则最后记录的起点即是结果。