单源最短路径-spfa算法

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int n; //表示n个点，从1到n标号

int s,t; //s为源点，t为终点

int d
; //d[i]表示源点s到点i的最短路

int p
; //记录路径（或者说记录前驱）

queue q; //一个队列，用STL实现，当然可有手打队列，无所谓

bool vis
; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中

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## 最短路径的算法步骤 ##

1. 初始化

2. 松弛操作

初始化 ： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱

然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数

组，有顶点出队了记得消除那个标记

队列+松弛操作：读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队

以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解

Spfa算法可以处理负权边

证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

判断有无负环

如果一个节点的入队次数超过了N次，那么一定存在负环

以HDU2544为例

最短路径

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//  main.cpp
//  hdu-2544-最短路径-spfa
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//  Created by wuweiyang on 12/22/15.
//  Copyright © 2015 吴伟阳我. All rights reserved.
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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn  =1000;
int mp[maxn][maxn];//图的存储

queue<int>que;
int n,m;
int dist[maxn]//dist[i]表示从源点到i的最短路径
bool inque[maxn];//判断是否在队列中

int sur;//源点
void spfa()
{
memset(dist, 63, sizeof(dist));//初始化到任一点都是很大的值
while (!que.empty()) que.pop();
dist[sur] = 0;
que.push(sur);
inque[sur] = true;
while(!que.empty()){
int  u = que.front();
que.pop();
for(int i=1;i<=n;i++){
if(mp[u][i]){//这条边存在
if(mp[u][i]+dist[u]<dist[i]){
dist[i] = mp[u][i]+dist[u];
if(!inque[i]){inque[i] = true;
que.push(i);
}
}
}
}
inque[u] = false;//出队的点要标记

}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m){
memset(inque, false,sizeof(inque) );
memset(mp, 0, sizeof(mp));
sur = 1;
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
mp[a][b] = mp[b][a] = c;
}
spfa();
printf("%d\n",dist
);
}
return 0;
}