证明题练习（一）

已知e的定义式：e=limn→∞(1+1n)n，证明：limn→∞(1−1n)n=1e

证：

limn→∞(1−1n)n=limn→∞(n−1n)n=limn→∞(1nn−1)n=limn→∞1(1+1n−1)n=1e

几何

泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。



2α+2β=180∘→α+β=90∘

毕达哥拉斯定理：



证：

c2+4×12ab=(a+b)2c2+2ab=a2+b2+2abc2=a2+b2

级数

调和级数：

∑n=1∞1n=11+12+13+14+15+16+17+⋯

证明该级数是发散的：

=11+12+13+14+15+16+17+⋯=1+12+(13+14)+(15+16+17+18)+⋯≥1+12+(14+14)+(18+18+18+18)+⋯=1+12+12+12+⋯

证明：

∑n=0∞((−1)n2n+1)1=1−13+15−17+19+⋯=π4

π4=∫1x=011+x2dx

references

[1] Leibniz formula for π