经典算法题 -- 百钱买百鸡
2015-12-11 20:42
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百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题,题目很简单:
公鸡5文钱一只,母鸡3文钱一只,小鸡3只一文钱,用100文钱买一百只鸡,其中公鸡,母鸡,小鸡都必须要有。
问:公鸡,母鸡,小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。
分析:估计现在小学生都能手工推算这套题,只不过我们用计算机来推算,我们可以设公鸡为x,母鸡为y,小鸡为z,
那么我们可以得出如下的不定方程,
x+y+z=100, ①
5x+3y+z/3=100, ②
①代表100鸡和②代表100钱。
下面再看看x,y,z的取值范围。
由于只有100文钱,则5x<100 => 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y,
好,我们已经分析清楚了,下面就可以编码了。
结果出来了,确实这道题非常简单,我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的,最多最多能让
人接受的是O(N)。
所以说我们必须要优化一下,从结果中我们可以发现这样的一个规律:公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率,小鸡是3的递增率,规律哪里
来,肯定需要我们推算一下这个不定方程。
x+y+z=100 ①
5x+3y+z/3=100 ②
令②x3-① 可得
7x+4y=100
=>y=25-(7/4)x ③
又因为0<y<100的自然数,则可令
=> x=4k ④
将④代入③可得
=> y=25-7k ⑤
将④⑤代入①可知
=> z=75+3k ⑥
根据上面得出的 ④⑤⑥ 式子求K的区间,要保证0<x,y,z<100的话,
0<4k<100
0<25-7k<100
0<75+3k<100
满足上面的三个式子,k的取值范围只能是1,2,3,下面我们继续上代码。
这一次我们做到了O(N)的时间复杂度,很不错,起码优化到了我能接受的范围内,或许我们感觉到了数学的魅力,是的,因为....
数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了...
出处:/article/4582419.html
公鸡5文钱一只,母鸡3文钱一只,小鸡3只一文钱,用100文钱买一百只鸡,其中公鸡,母鸡,小鸡都必须要有。
问:公鸡,母鸡,小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。
分析:估计现在小学生都能手工推算这套题,只不过我们用计算机来推算,我们可以设公鸡为x,母鸡为y,小鸡为z,
那么我们可以得出如下的不定方程,
x+y+z=100, ①
5x+3y+z/3=100, ②
①代表100鸡和②代表100钱。
下面再看看x,y,z的取值范围。
由于只有100文钱,则5x<100 => 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y,
好,我们已经分析清楚了,下面就可以编码了。
using System; using System.Collections.Generic; public class MyClass { public static void Main() { //公鸡的上线 for (int x = 0; x < 20; x++) { //母鸡的上线 for (int y = 0; y < 33; y++) { //剩余小鸡 int z = 100 - x - y; if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100)) { System.Console.WriteLine("公鸡:{0}只,母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } } } Console.ReadLine(); } }
结果出来了,确实这道题非常简单,我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的,最多最多能让
人接受的是O(N)。
所以说我们必须要优化一下,从结果中我们可以发现这样的一个规律:公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率,小鸡是3的递增率,规律哪里
来,肯定需要我们推算一下这个不定方程。
x+y+z=100 ①
5x+3y+z/3=100 ②
令②x3-① 可得
7x+4y=100
=>y=25-(7/4)x ③
又因为0<y<100的自然数,则可令
=> x=4k ④
将④代入③可得
=> y=25-7k ⑤
将④⑤代入①可知
=> z=75+3k ⑥
根据上面得出的 ④⑤⑥ 式子求K的区间,要保证0<x,y,z<100的话,
0<4k<100
0<25-7k<100
0<75+3k<100
满足上面的三个式子,k的取值范围只能是1,2,3,下面我们继续上代码。
using System; using System.Collections.Generic; public class MyClass { public static void Main() { int x, y, z; for (int k = 0; k <= 3; k++) { x = 4 * k; y = 25 - 7 * k; z = 75 + 3 * k; Console.WriteLine("公鸡:{0}只,母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } Console.ReadLine(); } }
这一次我们做到了O(N)的时间复杂度,很不错,起码优化到了我能接受的范围内,或许我们感觉到了数学的魅力,是的,因为....
数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了...
出处:/article/4582419.html
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