HDU 5573 Binary Tree 2015上海现场赛B题

题目大意：

有一个深度无限的完全二叉树，每个节点有一个标号：根节点标号为1，之后对于标号为x的节点，左孩子标号为2x，右孩子标号为2x+1（其实就是zkw线段树的标号规则）。现在从根节点开始向下走k步（根节点也算一步），每到一个节点可以选择加上或减去节点的标号，求最终结果为N的走法，其中N>=1且题目保证有解。

思路：

首先，我们用二进制数mask表示取数的方法，1表示+，0表示-，顺序从左向右，最右一位表示最后一次取数的方法；用pos表示最后到达节点的标号。这样就可以唯一确定一种走法，且很容易写出计算最终结果的函数f(mask,pos)。如k=3,mask=5,pos=7表示的路径为1 +，3 -，7 +，f(5,7)=5。

为方便表述再定义F(mask,x,pos,y)为mask右x位确定，pos左y位确定后，f的取值范围

经过观察很容易得到以下结论

最后一个节点取法一定为+，即mask&1=1

在k确定，后x步取法确定（即mask的右x位确定），前y步走法（即pos前y位确定）的情况下，f取值连续，且当所有未确定位全部置0时取得最小值

根据上述条件，只需依次确定mask和pos的值就可以得到答案

初状态mask最右位必然为1，pos最左位必然为1外其它位均未确定，根据题目限制N必包含在取值范围中，即F(1,1,1 << k,1)包含N

1.确定mask

从右向左依次确定mask，比如当前已确定前i位（mask其它位全部置0），则

F(mask,i,1<< k,1)最小值为f(mask,1<< k)

检查f(mask^(1<< i),1<< k))是否大于N，如果不大于N，则F(mask^(1<< i),i+1,1<< k,0)必包含N，否则F(mask,i+1,1<< k,0)必包含N

2.确定pos

此时mask已确定

从左向右依次确定pos，比如已确定前i位（pos其它位全部置0），则

F(mask,k,pos,i)最小值为f(mask,pos)

检查f(mask,pos^(1<<(k-1-i)))是否大于N，如果不大于N，则F(mask,k,pos^(1<<(k-1-i)),i+1)必包含N，否则F(mask,k,pos,i+1)必包含N

最后根据mask和pos打印路径即可

求解f(mask,pos)函数的复杂度为k，最终的复杂度O(k^2)

另外先pos再确定mask也是可行的

代码：

Problem : 5573 ( Binary Tree ) Judge Status : Accepted

RunId : 15788211 Language : G++ Author : qsqx

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <map>
8dcc
;
#include <algorithm>
#include <string.h>
#define ll long long
#define forn(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)
#define rep(i,n) for(int i=1;i<=(n);++i)
#define pii pair<int,int>
#define mp(x,y) make_pair((x),(y))
using namespace std;
ll f(ll mask,ll pos) {
ll res = 0;
while (pos) {
if (mask & 1)
res += pos;
else
res -= pos;
pos >>= 1;
mask >>= 1;
}
return res;
}
vector <pair<ll , char> >res;
void print(ll mask,ll pos) {
res.clear();
while (pos) {
if (mask & 1)
res.push_back(mp(pos, '+'));
else
res.push_back(mp(pos, '-'));
pos >>= 1;
mask >>= 1;
}
int len = res.size();
for (int i = len - 1; i >= 0; --i) {
printf("%lld %c\n", res[i].first, res[i].second);
}
}
void solve() {
ll n;
int k;
cin >> n >> k;
ll mask = 1;
for (int t = 1; t <k;++t) {
if (f(mask | (1LL << t), 1LL << (k - 1))<=n) {
mask |= (1LL << t);
}
}
ll pos = 1LL << (k - 1);
for (int t = k - 2; t >= 0; --t) {
if (f(mask, pos | (1LL << t)) <= n)
pos |= (1LL << t);
}

print(mask, pos);
}
int main(){
//freopen("abc.txt", "r", stdin);
int T;
cin >> T;
rep(t, T) {
printf("Case #%d:\n",t);
solve();
}
return 0;
}