Bresenham算法

2.1.2 Bresenham算法

　

Bresenham算法是计算机图形学典型的直线光栅化算法。

本文转自上交大计算机图形学网

从另一个角度看直线光栅化显示算法的原理

由直线的斜率确定选择在x方向或y方向上每次递增（减）1个单位，另一变量的递增（减）量为0或1，它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离，这个距离的最大误差为0.5。

　

1)Bresenham的基本原理　

假定直线斜率k在0~1之间。此时，只需考虑x方向每次递增1个单位，决定y方向每次递增0或1。设

直线当前点为(xi,y)

直线当前光栅点为(xi,yi)

则

下一个直线的点应为(xi+1,y+k)

下一个直线的光栅点

或为右光栅点(xi+1,yi)（y方向递增量0）

或为右上光栅点(xi+1,yi+1)（y方向递增量1）




记直线与它垂直方向最近的下光栅点的误差为d，有：d=(y+k)–yi，且

0≤d≤1

当d<0.5：下一个象素应取右光栅点(xi+1,yi)

当d≥0.5：下一个象素应取右上光栅点(xi+1,yi+1)




如果直线的（起）端点在整数点上，误差项d的初值：d0＝0，

x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即：d＝d + k。

一旦d≥1，就把它减去1，保证d的相对性，且在0-1之间。

令e=d-0.5，关于d的判别式和初值可简化成：

e的初值e0= -0.5，增量亦为k;

e<0时，取当前象素(xi,yi)的右方象素(xi+1,yi)；

e>0时，取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1)；

e=0时，可任取上、下光栅点显示。

Bresenham算法的构思巧妙：它引入动态误差e，当x方向每次递增1个单位，可根据e的符号决定y方向每次递增 0 或 1。

e<0，y方向不递增

e>0，y方向递增1

x方向每次递增1个单位，e = e + k

因为e是相对量，所以当e>0时，表明e的计值将进入下一个参考点（上升一个光栅点），此时须：e = e - 1

　

2)Bresenham算法的实施——Rogers 版　

通过(0,0)的所求直线的斜率大于0.5，它与x=1直线的交点离y=1直线较近，离y=0直线较远，因此取光栅点(1,1)比(1,0)更逼近直线；

如果斜率小于0.5，则反之；

当斜率等于0.5，没有确定的选择标准，但本算法选择(1,1)





（程序）
　

//Bresenham’s line resterization algorithm
for the first octal.

//The line end points are (xs,ys) and (xe,ye) assumed not equal.

// Round is the integer function.

// x,y, ∆x, ∆y are the integer, Error is the real.

//initialize variables

x=xs

y=ys

∆x = xe -xs

∆y = ye -ys

//initialize e to compensate for a nonzero intercept

Error =∆y/∆x-0.5

//begin the main loop

for i=1 to ∆x

WritePixel (x, y, value)

if (Error ≥0) then

y=y+1

Error = Error -1

end if

x=x+1

Error = Error +∆y/∆x

next i

finish

　

3)整数Bresenham算法　

上述Bresenham算法在计算直线斜率和误差项时要用到浮点运算和除法，采用整数算术运算和避免除法可以加快算法的速度。由于上述Bresenham算法中只用到误差项（初值Error
=∆y/∆x-0.5）的符号

因此只需作如下的简单变换：

NError = 2*Error*∆x

即可得到整数算法，这使本算法便于硬件（固件）实现。

（程序）

　

//Bresenham’s integer line resterization
algorithm for the first octal.

//The line end points are (xs,ys) and (xe,ye) assumed not equal. All
variables are assumed integer.

//initialize variables

x=xs

y=ys

∆x = xe -xs

∆y = ye -ys

//initialize e to compensate for a nonzero intercept

NError =2*∆y-∆x
//Error =∆y/∆x-0.5

//begin the main loop

for i=1 to ∆x

WritePixel (x, y)

if (NError >=0) then

y=y+1

NError = NError –2*∆x //Error =
Error -1

end if

x=x+1

NError = NError +2*∆y
//Error = Error +∆y/∆x

next i

finish

　

4)一般Bresenham算法　

要使第一个八卦的Bresenham算法适用于一般直线，只需对以下2点作出改造：

当直线的斜率|k|>1时，改成y的增量总是1，再用Bresenham误差判别式确定x变量是否需要增加1；

x或y的增量可能是“+1”或“-1”，视直线所在的象限决定。

（程序）

　

//Bresenham’s integer line resterization
algorithm for all quadrnts

//The line end points are (xs,ys) and (xe,ye) assumed not equal. All
variables are assumed integer.

//initialize variables

x=xs

y=ys

∆x = abs(xe -xs) //∆x = xe
-xs

∆y = abs(ye -ys) //∆y = ye
-ys

sx = isign(xe -xs)

sy = isign(ye -ys)

//Swap ∆x and ∆y depending on the slope of the line.

if ∆y>∆x then

Swap(∆x,∆y)

Flag=1

else

Flag=0

end if

//initialize the error term to compensate for a nonezero intercept

NError =2*∆y-∆x

//begin the main loop

for i=1 to ∆x

WritePixel(x, y , value)

if (Nerror>=0) then

if (Flag) then
//∆y>∆x，Y=Y+1

x=x+sx

else

y=y+sy

end if
// End of Flag

NError = NError –2*∆x

end if
// End of Nerror

if (Flag) then
//∆y>∆x，X=X+1

y=y+sy

else

x=x+sx

end if

NError = NError +2*∆y

next i

finish

　

例子